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Hallo
Ich hatte folgende Aufgabenstellung, leider konnte ich nicht alle Folgen dazu lösen:
Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen (an) und die angegebenen $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - Werte jweils ein n $ [mm] \varepsilon \in \IN, [/mm] $ so dass |an| < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ n $ [mm] \varepsilon [/mm] $ gilt:
1. Aufgabe:
an= [mm] \bruch{(-1)^{n}}{3n} [/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-5}
[/mm]
Mein Lösungsansatz:
[mm] \bruch{(-1)^{n}}{3n} [/mm] < 1/100000 |*100000 | *3n
100000* [mm] (-1)^{n} [/mm] < 3n
wenn man jetzt den logarithmus nehmen will (um das n herunterzuholen), dann geht es ja nicht wegen dem -1. Ist diese Aufgabe somit nicht lösbar?
2. Aufgabe:
an = [mm] \bruch{(-2)^{n}}{n!}
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-4}
[/mm]
Hier hab ich auch erst zwei mal multipliziert, um den Bruch verschwinden zu lassen, dann hab ich aber auch das selbe Problem mit log -2
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 14.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo mal wieder!
> Hallo
> Ich hatte folgende Aufgabenstellung, leider konnte ich
> nicht alle Folgen dazu lösen:
> Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen (an) und die
> angegebenen [mm]\varepsilon[/mm] - Werte jweils ein n [mm]\varepsilon \in \IN,[/mm]
> so dass |an| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] n [mm]\varepsilon[/mm]
> gilt:
>
> 1. Aufgabe:
> an= [mm]\bruch{(-1)^{n}}{3n}[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]10^{-5}
[/mm]
>
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{3n}[/mm] < 1/100000 |*100000 | *3n
> 100000* [mm](-1)^{n}[/mm] < 3n
> wenn man jetzt den logarithmus nehmen will (um das n
> herunterzuholen), dann geht es ja nicht wegen dem -1. Ist
> diese Aufgabe somit nicht lösbar?
Du hast doch [mm]|a_n| < \varepsilon[/mm] gegeben. Also ist der Ansatz:
[mm] $\left|\bruch{(-1)^{n}}{3n}\right| [/mm] < [mm] \frac{1}{100000}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{\left|(-1)^n\right|}{\left|3n\right|} [/mm] < [mm] \frac{1}{100000}$ [/mm] << nun ist aber [mm] $\left|(-1)^n\right| [/mm] = 1$ für alle [mm] n \in \IN[/mm], ebenso $3n>0$ deswegen:
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{3n} [/mm] < [mm] \frac{1}{100000}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 100000 < 3n$
[mm] $\Rightarrow \frac{100000}{3} [/mm] = [mm] 33333,3\dots [/mm] <n$
Damit ist das $n = 33334$.
>
> 2. Aufgabe:
> an = [mm]\bruch{(-2)^{n}}{n!}
[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]10^{-4}
[/mm]
>
> Hier hab ich auch erst zwei mal multipliziert, um den Bruch
> verschwinden zu lassen, dann hab ich aber auch das selbe
> Problem mit log -2
Auch hier ist das gar nicht nötig:
[mm] \left|\bruch{(-2)^{n}}{n!}\right|<\frac{1}{10000}[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\left| (-1)^n \cdot 2^n\right|}{\left|n!\right|} < \frac{1}{10000}[/mm] << gleiche Überlegung wie oben und zum Glück ist alles größer als 0 und die restlichen Beträge fallen weg:
[mm] \Rightarrow \frac{2^n}{n!} < \frac{1}{10000}[/mm]
[mm] \gdw 10000 \cdot 2^n < n![/mm]
Jetzt müssen wir leider wieder die gleiche überlegung wie gestern anstellen, wenn wir im elementaren der Analysis bleiben wollen. Ich denke du findest den Ansatz aber sehr schnell allein.
Das soll fürs erste genügen.
Lieber Gruß,
Micha 
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