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| Aufgabe | Durch Angabe von a1∈IR und durch
[mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+3 [/mm] ,n∈IN
wird eine folge rekursiv definiert. Man errate einen Kanditaten für ihren Grenzwert und beweise die Konvergenz. |
Ich sag mal [mm] a_n [/mm] geht gegen a
so ist a= [mm] \frac{a}{2}+3
[/mm]
womit a =6 ist
Konvergenz anschauen
[mm] |\frac{a_{n}}{2}+3-6| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |\frac{a_n}{2}-\frac{6}{2}| [/mm] < [mm] |\frac{a_n}{2}|< \varepsilon
[/mm]
wie mache ich denn da weiter? wie krieg ich die betragsstriche weg?
Vielen dank für hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 So 13.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
Dein vermuteter Grenzwert ist richtig. Allerdings gilt die entsprechende Bestimmungsgleichung $a \ = \ [mm] \bruch{a}{2}+3$ [/mm] nur unter einer einzigen Bedingung: [mm] $a_n$ [/mm] ist konvergent!
Du musst hier also zunächst zeigen (z.B. mittels Induktion), dass die rekursiv definierte Folge [mm] $a_n$ [/mm] sowohl beschränkt als auch monoton ist.
Gruß
Loddar
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> Durch Angabe von [mm] a_1\in\IR [/mm] und durch
> [mm]a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+3[/mm] , [mm] n\in\IN
[/mm]
>
> wird eine Folge rekursiv definiert. Man errate einen
> Kanditaten für ihren Grenzwert und beweise die
> Konvergenz.
> Ich sag mal [mm]a_n[/mm] geht gegen a
> so ist a= [mm]\frac{a}{2}+3[/mm]
> womit a =6 ist
>
> Konvergenz anschauen
> [mm]|\frac{a_{n}}{2}+3-6|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]|\frac{a_n}{2}-\frac{6}{2}|[/mm] < [mm]|\frac{a_n}{2}|< \varepsilon[/mm]
Ratschlag:
Definiere die Folge [mm] [/mm] mit [mm] b_n:=a_n-6
[/mm]
Leite aus der Rekursionsformel für die Folge [mm] [/mm] die
Rekursionsformel für die Folge [mm] [/mm] her und zeige,
dass [mm] [/mm] eine Nullfolge ist - unabhängig vom Start-
wert !
LG Al-Chw.
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> Leite aus der Rekursionsformel für die Folge $ [mm] [/mm] $ die
Rekursionsformel für die Folge $ [mm] [/mm] $ her
??Verzweifelt !
Ich dachte daran den Abstand [mm] |a_{n+1} [/mm] −6| mit dem Abstand [mm] |a_{n} [/mm] −6| in Beziehung zu setzen oder so etwas.
Aber damit kann ich jetzt garde nix anfangen!;(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach eine Fallunterscheidung [mm] a_0>6 [/mm] und [mm] a_0<6
[/mm]
dann zeigst du dass falls [mm] a_0>6 [/mm] a1>6 allgemein [mm] a_n>6 [/mm] folgt [mm] a_{n+1}>6 [/mm] d.h. nach unten beschränkt. dann noch zeigen monoton fallend .
[mm] a_n<6 [/mm] entsprechend [mm] a_{n+1}<6 [/mm] also nach oben beschränkt. dann noch zeigen monoton steigend.
Gruss leduart
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was ist [mm] a_0 [/mm] ?
Kannst du dass nochmals genauer aufschreiben wa sich machen muss?
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Hallo theresetom,
meine Güte, so ein bisschen Transferleistung durch eigenes Denken sollte doch möglich sein...
> was ist [mm]a_0[/mm] ?
Das ist eine typische Bezeichnung für das erste gegebene Folgenglied einer rekursiven Folge. In Deiner Aufgabe heißt es allerdings [mm] a_1.
[/mm]
> Kannst du dass nochmals genauer aufschreiben wa sich
> machen muss?
Betrachte die Folge für [mm] a_1>6 [/mm] und weise nach, dass sie monoton fallend und nach unten durch a=6 beschränkt ist.
Dann betrachte die Folge für [mm] a_1<6 [/mm] und weise nach, dass sie monoton wachsend und nach oben durch a=6 beschränkt ist.
Grüße
reverend
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> > Leite aus der Rekursionsformel für die Folge [mm][/mm] die
> Rekursionsformel für die Folge [mm][/mm] her
>
> ??Verzweifelt !
> Ich dachte daran den Abstand [mm]|a_{n+1}[/mm] −6| mit dem
> Abstand [mm]|a_{n}[/mm] −6| in Beziehung zu setzen oder so
> etwas.
> Aber damit kann ich jetzt garde nix anfangen!;(
Würdest du meinem Tipp mit der Folge [mm] [/mm] folgen,
so könntest du dir sogar ersparen, dich mit Betragsun-
gleichungen herumzuschlagen ...
LG
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Tut mir leid, aber ich hab erst vor einer Woche, das erste Mal mit Folgen zu tun gehabt. Also verstehe ich es so nicht!
[mm] |a_{n+1} [/mm] - 6| = [mm] |\frac{a_n}{2}+3 [/mm] -6 | = [mm] |\frac{a_n}{2} [/mm] -3| [mm] =|\frac{a_n -6}{2}|
[/mm]
Behauptung: [mm] |a_n [/mm] - 6| [mm] \le \frac{a_1-6}{2^{n-1}} \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktion n= 1 gilts
Annahme: für A(n) gilts
Induktionsschritt: [mm] |a_{n+1}-6|=\frac{|a_n-6|}{2} [/mm]
wie komme ich nun auf die rechte seite?
> [mm] \frac{a_1-6}{2^{n-1}}
[/mm]
Das hab ich von einen Buch, wie komme ich selbstständig da hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Al hat Dir doch gesagt, dass Du um die Beträge herumkommst:
Es ist
[mm] a_{n+1}-6= \bruch{a_n-6}{2},
[/mm]
also mit [mm] b_n:=a_n-6:
[/mm]
[mm] b_{n+1} =\bruch{b_n}{2},
[/mm]
Da könnte man doch vermuten, dass gilt:
[mm] b_{n+1} =\bruch{b_1}{2^{n-1}} [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
So, das beweise mal induktiv.
FRED
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So heute in der vorlesung hat wer gefragt, wie das geht - da sich bei uns keiner mit der aufgabe auskennt!
Meine schritte des letzten postes waren genauso, weiters war es:
Induktionsschritt $ [mm] |a_{n+1}-6|=\frac{|a_n-6|}{2} [/mm] $ [mm] \ge [/mm] 1/2 [mm] \frac{|a_1-b|}{2^{n-1}} [/mm] =| [mm] \frac{|a_1-b|}{2^{n+1-1}}
[/mm]
Betragsstriche lasse ich, da der Professor es auch so belassen hat!
MPF..versteh ich- denke ich mal!
Nur wie ich selbstständig auf $ [mm] b_{n+1} =\bruch{b_1}{2^{n-1}} [/mm] $ komme ist mir nach wie vor nicht klar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das [mm] bn=a_n-6 [/mm] wird doch in jedem Schritt halbiert.
gruss leduart
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