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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:06 Sa 02.01.2010 | | Autor: | MatheFrager |
| Aufgabe | Sei (an)n [mm] \in [/mm] N eine konvergente komplexe Folge mit Grenzwert A, das heißt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (an) = A. Sei bn das arithmetische
Mittel
[mm] bn=\bruch{1}{n+1} \summe_{k=0}^{n} [/mm] ak.
Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (bn) = A
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...ich denke, da fast alle Glieder größer einem beliebig gewählten Wert näher an A liegen, muss auch das arithmet. Mittel gegen A gehen, aber wie schreibt man das mathematisch??? Und: gilt auch der umgekehrte Fall?
(in keinem anderen Forum)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Sa 02.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Du musst eben die Defintion der Konvergenz von Zahlenfolgen benutzen, um die Behauptung zu zeigen. D.h. du musst den Ausdruck [mm] $$\left|A-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^na_k\right|\le\sum_{k=0}^n\frac{|A-a_k|}{n+1}$$ [/mm] kleiner als jedes vorgegebene [mm] \varepsilon [/mm] kriegen, wenn n nur genügend groß ist. Natürlich hast du Recht wenn du sagst "weil [mm] a_n [/mm] konvergiert, werden die späten Summanden der obigen Summe klein", aber das reicht eben nicht, denn die frühen Folgeglieder können riesige Abstände zu A haben!
Dass die Umkehrung nicht gilt, sieht man z.B. an der Folge [mm] $(-1)^n$...
[/mm]
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| Aufgabe | Was hältst Du von diesem Ansatz:
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ( [mm] \summe_{k=0}^{n_0} a_k [/mm] + [mm] \summe_{n_0+1}^{n} a_k [/mm] ) , wobei [mm] n_0:=n [/mm] ( [mm] \varepsilon) [/mm] |
...dass man da irgendwie zeigt dass dieses "fast alle Glieder liegen nahe A" der Hauptpunkt ist!
Ich verstehe leider nicht, was Du mit deinem Ansatz meinst...."kleiner kriegen", und wie kommst Du auf diesen Ausdruck?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Sa 02.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Die Defintion von [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ [/mm] ist [mm] $\forall\varepsilon>0\exists N\in\IN:n>N\Rightarrow|x_n-x|<\varepsilon$. [/mm] Du sollst zeigen [mm] $\lim_{n\to\infty}b_n=A$. [/mm] Also musst du dir zu vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] den Ausdruck [mm] $$\left|A-\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{n+1}\right|$$ [/mm] anschauen und zeigen, dass dieser klein (damit meine ich "kleiner als [mm] $\varepsilon") [/mm] wird, wenn n nur groß genug (damit meine ich größer als ein gewisses [mm] $N=N(\varepsilon), [/mm] das wir finden müssen)$ ist.
Nun habe ich dir (implizit) schon den Tipp gegeben, dass die folgende Abschätzung zum Ziel führt:
[mm] $$\left|A-\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{n+1}\right|\le\sum_{k=0}^n\frac{|A-a_k|}{n+1}$$ [/mm] (1) Warum gilt die Abschätzung überhaupt?
(2) Um den Beweis zu beenden, musst du nun noch zeigen dass die rechte Seite der Abschätzung bereits kleiner als jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist, wenn n nur größer einer gewissen Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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