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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:04 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Konstruiere zu jedem [mm] \epsilon > 0 [/mm] eine Folge von offenen Intervallen [mm] ( a_1 , b_1 ) , ( a_2 , b_2 ) , ( a_3, b_3 ) ... [/mm] mit [mm] \mathbb Q \subset \bigcup_{ i = 1}^\infty ( a_i , b_i ) [/mm] und [mm] \summe_{i = 1}^\infty | b_i - a_i | < \epsilon [/mm] .
Zeigen Sie, dass dann [mm] \bigcup_{ i = 1}^\infty ( a_i , b_i ) \ne \mathbb R [/mm] gilt. |
Hallo alle zusammen!
Ich versuche mich schon einige Zeit bei dieser Aufgabe , aber scheiter dabei regelmäßig :-(.
Wenn ich mir versuche das vorzustellen, dann denke ich an irgendeine Folge von offenen Intervallen auf der reelen Achse, deren Vereinigung [mm] \mathbb Q [/mm] enthalten soll. Mit der zweiten Bedingung habe ich irgendwie Probleme mir das vorzustellen. Warum soll diese Summe so verschwindend gering sein???Ich addiere doch die Länge der Intervalle auf, oder?
Da ich, wie zu sehen Probleme schon mit den Voraussetzungen habe, weiß ich garnicht, wie diese Folge aussehen soll...
Tut mir leid,dass ich nicht mehr dazu beitragen kann.. Ich hoffe sehr, dass mir da jemand nen Tipp geben kann.
Danke schon mal.
Gruß
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mi 14.11.2007 | | Autor: | kornfeld |
Das ist in der Tat verwirrend, ist allerdings eine Folge der Tatsache, dass [mm] $\IQ$ [/mm] eine Lebesgue-nullmenge in [mm] $\IR$ [/mm] ist. Du kannst die Aufgabenstellung also als eine Variante des Beweises jener Tatsache deuten. Das Problem ist wie du richtig erkannt hast, dass [mm] $\IR$ [/mm] unendliches Lebesguemass hat$. Jedoch beachte, dass du "nur" eine Ueberdeckung von [mm] $\IQ$ [/mm] angeben sollst und nicht von [mm] $\IR$! [/mm] Mein Tip deshalb: Unterteile [mm] $\IR$ [/mm] in gleich grosse Teile [mm] $I_n, n\in\IN$, $\bigcup_{n\inIN} I_n=\IR$. [/mm] Nimm ein x-beliebiges [mm] $\epsilon$ [/mm] und die Folge [mm] $2^{-n}$. [/mm] Fuer jedes $n$ zeigst du die Existenz einer Ueberdeckung von [mm] $\IQ\cap I_n$ [/mm] mit Intervallen [mm] $(a_i^n,b_i^n)$ [/mm] so dass die Summe davon kleiner als [mm] $2^{-n}\epsilon$ [/mm] ist (das ist leicht zu zeigen! Vielleicht evtl. in der Vorlesung gesehen?). Schliesslich bildest du die Endsumme ueber alle $n$ (Hier musst du eine Resultatchen ueber die Reihemit [mm] $2^{-n}$ [/mm] benutzen). Die Menge der Einzelintervalle [mm] $(a_i^n,b_j^n)$ [/mm] ist abzaehlbar fuer jedes $n$, also ist die Menge aller Intervalle abzaehlbar.
Der zweite Schritt ist, zu schliessen, dass die Vereinigung [mm] $V\subsetneq \IR$. [/mm] Hierzu mache man sich halt klar, dass Lebesguemass von $V$ andernfalls unendlich waere...
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Mein Tip deshalb:
> Unterteile [mm]$\IR$[/mm] in gleich grosse Teile [mm]$I_n, n\in\IN$, $\bigcup_{n\inIN} I_n=\IR$.[/mm]
Das verstehe ich!
> Nimm ein x-beliebiges [mm]$\epsilon$[/mm] und die Folge [mm]$2^{-n}$.[/mm]
Hier versteh ich nicht, wie diese Folge [mm]$2^{-n}$.[/mm] reinpasst? Ich soll ne Folge von offenen Intervallen konstriuren... Soll das die Länge des Intervalls sein?
> Fuer jedes $n$ zeigst du die Existenz einer Ueberdeckung
> von [mm]$\IQ\cap I_n$[/mm] mit Intervallen [mm]$(a_i^n,b_i^n)$[/mm] so dass
> die Summ davon kleiner als [mm]$2^{-n}\epsilon$[/mm] ist (das ist
> leicht zu zeigen! Vielleicht evtl. in der Vorlesung
> gesehen?).
Das haben wir leider nicht in der Vorlesung gesehen. Ich werde es probieren.
> Schließlich bildest du die Endsumme ueber alle
> $n$ (Hier musst du eine Resultatchen ueber die Reihemit
> [mm]$2^{-n}$[/mm] benutzen). Die Menge der Einzelintervalle
> [mm]$(a_i^n,b_j^n)$[/mm] ist abzaehlbar fuer jedes $n$, also ist die
> Menge aller Intervalle abzaehlbar.
> Der zweite Schritt ist, zu schliessen, dass die
> Vereinigung [mm]V\subsetneq \IR[/mm]. Hierzu mache man sich halt
> klar, dass Lebesguemass von [mm]V[/mm] andernfalls unendlich
> waere...
>
Die Vorgehesweise verstehe ich soweit, nur das mit der Folge [mm] 2^{-n} [/mm] verstehe ich leider nicht.... Warum das?
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 16.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Sa 17.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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