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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Fr 04.05.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{9n^{2}+2n+1}-3n)
[/mm]
Lösung lautet: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] |
Hi,
ich habe keine Ahnung wie ich auf diesen Grenzwert kommen soll.
Ich habe schon probiert etwas auszuklammern, wie z.B. die 9 oder auch ein [mm] n^{2}, [/mm] aber alles bringt keinen Erfolg.
Ansonsten fällt mir hier keine vernünftige Umformung ein.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß,
clwoe
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Hallo clwoe,
> Berechne den Grenzwert:
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> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{9n^2 + 2n + 1} - 3n\right)[/mm]
>
> Lösung lautet: [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Der Trick hier liegt in der Anwendung der 3ten binomischen Formel. Wir erweitern dazu den Bruch mit [mm]\sqrt{9n^2 + 2n + 1} \mathrel{\textcolor{green}{+}} 3n[/mm]:
[mm]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{9n^2 + 2n + 1} - 3n\right)\left(\sqrt{9n^2 + 2n + 1} + 3n\right)}{\sqrt{9n^2 + 2n + 1} + 3n}=\lim_{n\to\infty}\frac{9n^2 + 2n + 1 - 9n^2}{\sqrt{9n^2 + 2n + 1} + 3n}[/mm]
Als nächstes kürzen wir durch [mm]n[/mm]:
[mm]\lim_{n\to\infty}\frac{9n^2 + 2n + 1 - 9n^2}{\sqrt{9n^2 + 2n + 1} + 3n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{9 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} + 3} = \frac{2}{3+3} = \frac{1}{3}[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 04.05.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
alles klar und vielen Dank! Hab ich verstanden.
Gruß,
clwoe
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