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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 So 26.11.2006 | | Autor: | svenchen |
nabend!
Ich habe eine frage.
Dauernd höre ich abschätzen von Folgen , wenn es um den Grenzwert geht.
Ich kann mir darunter leider nichts vorstellen. Könnt ihr mir das anhand eines Beispieles erklären? Hab nun schon den ganzen Tag in google gesucht aber bi nicht schlau geworden.
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> Ich habe eine frage.
> Dauernd höre ich abschätzen von Folgen , wenn es um den
> Grenzwert geht.
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> Ich kann mir darunter leider nichts vorstellen. Könnt ihr
> mir das anhand eines Beispieles erklären? Hab nun schon den
> ganzen Tag in google gesucht aber bi nicht schlau geworden.
Hallo,
vergiß einmal kurz Deine Folgen.
Stell Dir folgendes vor:
Du bist abends kurz vor Torschluß in den Aldi gehastet, hast in Nullkommanix den Wagen halbvoll gepackt, weil Du vor lauter Mathestreß schon zwei Wochen nicht mehr einkaufen warst, fehlt Dir fast alles. Du stehst nun hinten in der Schlange, da durchzuckt Dich ein Schreck: Reichen die 25 , die Du im Portemonnaie hast, überhaupt? Kommst Du damit aus?
Was tut man in einer solchen Situation? Sämtliche Preise fein säuberlich addieren? Nee! Das können wir doch gar nicht ohne Taschenrechner. Oder es dauert zu lange. Was macht man? Man schätzt ab.
Jeden der Preise vergrößert man etwas auf eine Zahl, die man besser rechnen kann, z.B. auf ganze Euro. Wenn die Summe dieser vergrößerten Preise dann immer noch unter 25 Euro liegt, kann man sicher sein, daß das Geld reicht.
Das war jetzt leicht zu verstehen, nicht wahr?
Mit den Folgen ist es genauso.
Oft hat man eine Folge, und will wissen, ob sie konvergiert.
Etwa [mm] a_n=\bruch{3}{4+5n^2}
[/mm]
Was man sofort sieht, ist, daß alle Folgengleider größer als Null sind,
also [mm] 0<\bruch{3}{4+5n^2}
[/mm]
Jetzt versucht man die Folge nach oben hin möglichst aussagekräftig einzukesseln.
Aussagekräftig! Wenn ich nämlich so abschätze [mm] \bruch{3}{4+5n^2}<\bruch{357}{4+5n^2}<357 [/mm] bringt mir das herzlich wenig (außer der Information, daß die Folge nach oben beschränkt ist, was ja auch mitunter interessiert.)
Ich kann aber auch geschickt abschätzen
[mm] \bruch{3}{4+5n^2}< [/mm] ??? Wenn ich den Nenner verkleinere, vergrößert sich die Zahl. Aha! mach' ich's mal so:
[mm] \bruch{3}{4+5n^2}< \bruch{3}{5n^2}< \bruch{3}{n^2}< [/mm] ???
Weil [mm] n^2>n, [/mm] ist
[mm] \bruch{3}{4+5n^2}< \bruch{3}{5n^2}< \bruch{3}{n^2}< \bruch{3}{n}
[/mm]
Wenn ich das habe (natürlich habe ich zielstrebig darauf zu gesteuert!) beginne ich mich zu freuen, denn von [mm] \bruch{3}{n} [/mm] kenne ich den Grenzwert, somit ist [mm] a_n [/mm] gefangen:
[mm] 0
==> (Vorlesung) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}0\le \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{n}=3*0=0
[/mm]
==> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0
[/mm]
So, das war ein einfaches Beispiel für eine zielgerichtete Abschätzung.
Ein Patentrezept gibt es nicht. Manche "Tricks" wiederholen sich allerdings.
Im Laufe der Zeit bekommt man etwas Übung darin, nicht zuletzt durchs (Nach-)Rechnen von zahlreichen Beispielen.
Wenn Du solch eine vorgerechnete Abschätzung mit Gewinn verfolgen möchtest, reicht es nicht, das Ganze Schritt für Schritt zu verstehen.
Der erste Blick beim Nachvollziehen ist der aufs Ziel. Worauf läuft das Ganze hinaus? Dann versteht man die Umformungen und Abschätzungen, die oft wie vom Himmel geflogen kommen, besser.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 27.11.2006 | | Autor: | svenchen |
Angele , danke !! Du bist meine Rettung ;.) Endlich mal Worte als Erklärung und keine Definitionen ^^
Ich hab es auch auf Anhieb verstanden.
Weißt du, wo man noch solche Beispiele findet (aber bitte mit solchen Erklärungen, "schlechte" Seiten kann ich nicht mehr sehn).
Wenn nicht, kann ich dann mal ein, zwei Aufgaben stellen und wir rechnen die durch?
Mfg
Sven
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> Weißt du, wo man noch solche Beispiele findet (aber bitte
> mit solchen Erklärungen, "schlechte" Seiten kann ich nicht
> mehr sehn).
Hallo,
gerechnete Beispiele findest Du natürlich in Lehrbüchern und Aufgabensammlung.
Aber mir fällt kein Büch ein, in welchem Dich wirklich wortreiche Erklärungen erwarten, bestenfalls sind nicht allzuviele Schritte fortgelassen.
Die Erklärungen muß man sich selber machen, und mit genügend Zeit gelingt das sehr oft.
> Wenn nicht, kann ich dann mal ein, zwei Aufgaben stellen
> und wir rechnen die durch?
Du kannst hier soviele Aufgaben stellen, wie Du möchtest, immer schön mit eigenen Erklärungen, Fragen, Fehlansätzen.
Ob gerade ICH sie Dir erklären kann, sei dahingestellt, es gibt immer wieder Aufgaben aus dem Bereich Folgen und Reihen, die ich nicht hinkriege, aber es gibt ja hier so viele Leute, und Du siehst es an manchen langen Threads, daß man oft nachfragen darf. Die meisten sind sehr geduldig, solange der Eindruck besteht, daß das Gegenüber wirklich die Bereitschaft zu Mitarbeit und zum Denken hat.
Ansonsten kannst Du auch noch schauen, ob Du an alte Klausuraufgaben kommst zum Üben. Die Klausuraufgaben sind ja nicht so schwierig, von daher könnten sie lohnend sein. Denn wenn man etwas unsportlich ist und außerdem noch nie in den Bergen war, muß man ja nicht gleich im Himalajagebirge herumkraxeln.
Gruß v. Angela
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