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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 29.03.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (an)_{\in\IN} [/mm] und [mm] (bn)_{\in\IN} [/mm] seien Konvergent mit den Grenzwerten
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=b
[/mm]
Zeigen Sie ohne Verwendung der Rechenregeln für die Produkte und Summen von konvergenten Folgen, dass für jedes r [mm] \in \IR [/mm] auch die Folge [mm] (a_n+r*b_n)\in \IN [/mm] konvergiert und für den Grenzwert gilt,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\to a_n+r*b_n=a+r*b. [/mm] |
Servus,
Da ich bis jetzt nur Nullfolgen betrachtet habe fällt mir diese Aufgabe recht schwer.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich zuerst beweisen muss, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\to r*b_n=r*b.
[/mm]
Also wenn r positiv oder negativ ist würde das an der Distanz nichts ändern, außer r ist 0, dann existiert keine Distanz da [mm] \alpha [/mm] >0.
Ansosnten:
[mm] \forall\alpha>0 \existsn n\in\IN [/mm] :(so dass gilt) [mm] |(a_k+r*b_k)-(a+r*b)| <\alpha
[/mm]
[mm] \forall k\ge [/mm] n
Kann man das mit der Dreiecksungleichung lösen und liege ich richtig damit die Konvergenz von [mm] r*b_n [/mm] nicht zuerst zu beweisen ?
Vielen Danke
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Die Folge [mm](an)_{\in\IN}[/mm] und [mm](bn)_{\in\IN}[/mm] seien Konvergent
> mit den Grenzwerten
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=b[/mm]
>
> Zeigen Sie ohne Verwendung der Rechenregeln für die
> Produkte und Summen von konvergenten Folgen, dass für
> jedes r [mm]\in \IR[/mm] auch die Folge [mm](a_n+r*b_n)\in \IN[/mm]
> konvergiert und für den Grenzwert gilt,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\to a_n+r*b_n=a+r*b.[/mm]
> Servus,
>
> Da ich bis jetzt nur Nullfolgen betrachtet habe fällt mir
> diese Aufgabe recht schwer.
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich zuerst beweisen muss, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\to r*b_n=r*b.[/mm]
>
> Also wenn r positiv oder negativ ist würde das an der
> Distanz nichts ändern, außer r ist 0, dann existiert
> keine Distanz da [mm]\alpha[/mm] >0.
>
> Ansosnten:
>
> [mm]\forall\alpha>0 \exists n\in\IN[/mm] :(so dass gilt)
> [mm]|(a_k+r*b_k)-(a+r*b)| <\alpha[/mm]
> [mm]\forall k\ge[/mm] n
>
> Kann man das mit der Dreiecksungleichung lösen
Ja
> und liege
> ich richtig damit die Konvergenz von [mm]r*b_n[/mm] nicht zuerst zu
> beweisen ?
Ja
FRED
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> Vielen Danke
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> Benni
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