Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Do 10.11.2005 | | Autor: | musunoi |
Hallo zusammen,
Aufgabe:
Zeige, dass (n!)n∈N schneller gegen Unendlich strebt als jede Exponentialfolge.
Ich muss noch weitere 5 änliche Aussagen beweisen, weiss leider nicht wie es geht. Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
musunoi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage ist ja immer, was man bei diesen Aufgaben so voraussetzen darf.
Aus der Konvergenz der Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!}$
[/mm]
folgt ja beispielsweise unmittelbar:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} [/mm] =0$.
Die Frage ist also, was ihr bisher zu Folgen und Reihen gemacht habt und verwenden dürft.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 10.11.2005 | | Autor: | musunoi |
Hallo Stefan,
bin mir nicht sicher, ob ich die Konvergenz der Reihen anwenden darf.
Was ich laut Skrpit weiss, ist folgendes:
Wir sagen, dass [mm] b_{n} [/mm] schneller gegen Unendlich strebt als [mm] a_{n},
[/mm]
wenn auch noch [mm] b_{n}/a_{n} [/mm] → ∞ gilt; entsprechend strebt eine positive Nullfolge [mm] b_{n} [/mm] schneller gegen Null als eine andere [mm] a_{n}, [/mm] wenn auch noch [mm] b_{n}/a_{n} [/mm] → 0 gilt.
Ebenfalls weiss ich noch, dass:
Eine Folge [mm] a_{n}, n\in\IN [/mm] von reelen Zahlen heißt Unendlichfolge, [mm] a_{n} [/mm] → ∞, wenn für jede gegebene (große) Schranke c ∈ [mm] \IR [/mm] alle Glieder bis auf endlich viele größer als c sind, wenn also zu c eine Nummer [mm] n_{0}(c) [/mm] ∈ N existiert
mit [mm] a_{n}> [/mm] c für alle n ≥ [mm] n_{0}(c). [/mm] Entsprechend heißt [mm] a_{n} [/mm] ∈N Nullfolge, [mm] a_{n} [/mm] → 0, wenn für jedes gegebene (kleine) [mm] \varepsilon [/mm] > 0 alle bis auf endlich viele an dem Betrage nach kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sind, wenn es also eine Nummer [mm] n_{0}( \varepsilon) [/mm] gibt mit [mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n ≥ [mm] n_{0}( \varepsilon).
[/mm]
Das sind schon viele Informationen, leider etwas zu theoretisch für mich, um sie in den Beweis anwenden zu wissen.
Danke & Gruß,
musunoi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo musunoi!
Dürft Ihr denn die Grenzwertsätze verwenden?
Wenn [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n*b_n\right)$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\overbrace{a*a*a*...*a}^{n \ Faktoren}}{\underbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}_{n \ Faktoren}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{a}{1}*\bruch{a}{2}* ...* \bruch{a}{n-1}*\bruch{a}{n}\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{1}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{2}*...*\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n-1}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n} [/mm] \ = \ [mm] a*\bruch{a}{2}*...*\red{0}*\red{0} [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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