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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 So 28.09.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] reelle, gegen 0 konvergierende Zahlenfolgen, für die gilt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(a_{n}) [/mm] konvergiert und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(b_{n}) [/mm] divergiert.
Behauptung: Dann gilt für ein [mm] N\in\IN:
[/mm]
[mm] \forall{n}\ge{N}:|a_{n}|<|b_{n}| [/mm] |
Guten Tag,
ich habe mich heute gefragt, ob diese obige Behauptung eventuell stimmen könnte und wie ich diese beweisen bzw. widerlegen könnte, finde jedoch leider keinen Ansatz, der mir bei diesem Problem weiterhilft. Könnte mir da jemand ein paar Hinweise o.ä. geben?
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Hallo,
> Seien [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] und [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] reelle, gegen
> 0 konvergierende Zahlenfolgen, für die gilt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(a_{n})[/mm] konvergiert und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(b_{n})[/mm] divergiert.
> Behauptung: Dann gilt für ein [mm]N\in\IN:[/mm]
> [mm]\forall{n}\ge{N}:|a_{n}|<|b_{n}|[/mm]
> Guten Tag,
> ich habe mich heute gefragt, ob diese obige Behauptung
> eventuell stimmen könnte und wie ich diese beweisen bzw.
> widerlegen könnte, finde jedoch leider keinen Ansatz, der
> mir bei diesem Problem weiterhilft. Könnte mir da jemand
> ein paar Hinweise o.ä. geben?
Das kann so nicht gelten Gegenbeipiel:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
[/mm]
ist divergent,
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=ln(2)
[/mm]
dagegen konvergent. Jedes zweite Folgenglied stimmt hier jedoch überein, also müsstest du deine Vermutung noch dahingehend anpassen. Ich glaube aber, die Vermutung ist komplett falsch und man kann sie auch durch umändern der Relation in 'kleiner gleich' nicht reparieren.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:13 So 28.09.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Diophant,
du liegst richtig mit deiner Vermutung.
Nimm eine positive monotone Nullfolge, deren Reihe divergiert, multipliziere sie mit 2 und lass sie alternieren.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 28.09.2014 | | Autor: | bquadrat |
Oh, ja stimmt.... Gut, dann kann ich meine Behauptung ja wieder unter den Teppich kehren :)
Danke
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