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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Eine Folge [mm] $(I_{n})_{n \in \IN_{0}}$ [/mm] von abgeschlossenen Intervallen [mm] $I_{0} [/mm] = [mm] [c_{0}, d_{0}]$, $I_{1} [/mm] = [mm] [c_{1}, d_{1}]$, $I_{2} [/mm] = [mm] [c_{2}, d_{2}]$, $\ldots$
[/mm]
heißt Intervallschachtelung, wenn
* [mm] $I_{n+1} \subseteq I_{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
* [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(d_{n} [/mm] - [mm] c_{n}) [/mm] = 0$.
Zeige, dass es in einer solchen Situation höchstens eine reelle Zahl $s$ mit $s [mm] \in I_{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_{0}$ [/mm] geben kann. |
Hallo an alle.
Ich bräuchte etwas Hilfe, am Verständnis scheitert es nicht, sondern
an der Durchführung des Beweises.
Mir ist bewusst, dass (*) die beiden Eigenschaften für eine Intervallschachtelung sind und erfüllt werden müssen.
Mit ist auch klar, das es ein s [mm] \in I_{n} [/mm] geben muss, welches in
jedem Intervall ( [mm] I_{0}, I_{1}, I_{2}) [/mm] drin steckt.
Hieße das symbolisch: {s} = [mm] \bigcap_{n=0}^{ \infty} I_{n} (I_{0} \cap I_{1} \cap I_{2}) [/mm] ?
Und wäre dieses "s" mein Grenzwert und somit die einzige reelle Zahl, die in allen Intervallen ( der Intervallsschachtelung) enthalten ist?
Ist das bis hier richtig gedacht oder übersehe ich was?
Vielen Dank für Hilfe im Voraus.
Gruß Doreen.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Sa 17.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Eine Folge [mm](I_{n})_{n \in \IN_{0}}[/mm] von abgeschlossenen
> Intervallen [mm]I_{0}[/mm] = [mm][c_{0}, d_{0}], I_{1}[/mm] = [mm][c_{1}, d_{1}], I_{2}[/mm]
> = [mm][c_{2}, d_{2}],[/mm] ....
>
> heißt Intervallschachtelung, wenn
>
> * [mm]I_{n+1} \subseteq I_{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> * [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(d_{n}[/mm] - [mm]c_{n})[/mm] = 0.
>
> Zeige, dass es in einer solchen Situation höchstens eine
> reelle Zahl s mit s [mm]\in I_{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_{0}[/mm] geben
> kann.
> Hallo an alle.
Hallo Doreen
>
> Ich bräuchte etwas Hilfe, am Verständnis scheitert es
> nicht, sondern
> an der Durchführung des Beweises.
>
> Mir ist bewusst, dass (*) die beiden Eigenschaften für eine
> Intervallschachtelung sind und erfüllt werden müssen.
>
> Mit ist auch klar, das es ein s [mm]\in I_{n}[/mm] geben muss,
> welches in
> jedem Intervall ( [mm]I_{0}, I_{1}, I_{2})[/mm] drin steckt.
>
> Hieße das symbolisch: {s} = [mm]\bigcap_{n=0}^{ \infty} I_{n} (I_{0} \cap I_{1} \cap I_{2})[/mm]
Ich würde es so schreiben: [mm] $\{s\}=\bigcap_{n=0}^{\infty}I_{n}$
[/mm]
> ?
>
> Und wäre dieses "s" mein Grenzwert und somit die einzige
> reelle Zahl, die in allen Intervallen ( der
> Intervallsschachtelung) enthalten ist?
>
> Ist das bis hier richtig gedacht oder übersehe ich was?
>
> Vielen Dank für Hilfe im Voraus.
>
> Gruß Doreen.
>
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
>
Sonst ist alles richtig
mfG Moudi>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:41 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Guten Morgen an alle.
Nachdem nun mein Gedankengang richtig richtig ist. Wie mache ich da weiter?
Jede Intervallschachtelung definiert genau eine reelle zahl s mit [mm] s\in I_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
also ist für alle n, m [mm] \in [/mm] N
[mm] c_{0} \le c_{1} \le c_{2} [/mm] .... [mm] \le c_{n+m} \le d_{n+m} \le [/mm] .... [mm] \le d_{n} [/mm] .... [mm] \le d_{0}
[/mm]
das heißt ja dann, dass [mm] {c_{n}} [/mm] monoton wachsend ist und mein [mm] {d_{n}} [/mm] ist monoton fallen und [mm] c_{n} \le d_{n}
[/mm]
für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Wie mache ich nun weiter? Da stecke ich etwas fest...
Wäre toll, wenn mir jemand wieder etwas Hilfe gibt...
Vielen Dank
Gruß Doreen
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Hallo Doreen und ebenfalls guten Morgen an alle,
also wenn [mm] I_n= [c_n,d_n] [/mm] und [mm] I_{n+1}\subseteq I_n [/mm] und [mm] lim_{n\to\infty}(d_n-c_n)=0, [/mm]
so lass uns doch mal das Gegenteil dessen annehmen, was zu zeigen ist, also dass
[mm] x,y\in\bigcap_n I_n [/mm] mit x<y.
Aber es ist doch dann schon klar, wie der Widerspruch laufen muss: Da die Intervallbreite
gegen 0 konvergiert, wird sie irgendwann kleiner als y-x, und ab diesem n kann nur noch
eine der beiden Zahlen in [mm] I_n [/mm] liegen.
Gruss
und allen eine gute Woche,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
also wenn ich das so mache:
[mm] x,y\in\bigcap_n I_n \Rightarrow [/mm] |x-y| [mm] \le I_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Damit folgt, das xy
da [mm] |I_{n}| \to [/mm] 0 wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (d_{n} [/mm] - [mm] c_{n}) [/mm] =0
Somit wäre mein s aus der Aufgabenstellen s = Grenzwert mit s [mm] \in I_{n}
[/mm]
Damit hätte ich doch die Aufgabe, das es nur eine reelle Zahl gibt, bewiesen.
Stimmts? oder nicht?
Vielen Dank für Hilfe und Antwort
Gruß Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Di 20.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Doreen!
Du meinst das Richtige, schreibst es aber bescheiden auf. 
Also, wie du es machen wolltest, geht es so:
Es seien $x,y [mm] \in \bigcap\limits_{n \in \IN} I_n$. [/mm] Dann gilt für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
$|x-y| [mm] \le d_n-c_n$.
[/mm]
Aus [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (d_n-c_n)=0$ [/mm] folgt: $|x-y|=0$, also: $x=y$.
Liebe Grüße
Stefan
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