Folge von Sigma-Algebren < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Plapper |
| Aufgabe | | [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] sei eine Folge von [mm] \sigma [/mm] -Algebren auf einer Menge X, mit [mm] A_1\subset A_2\subset A_3\subset [/mm] ... . Zeigen Sie, dass [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] eine Algebra auf X ist. |
Hallo an alle!
Wir wissen, dass jede Sigma-Algebra eine Algebra ist. Also müssen wir zeigen, dass [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] eine Sigma-Algebra auf X ist.
i) zz.: X [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}A_n
[/mm]
Beweis: Sei X [mm] \in A_1, [/mm] weil [mm] A_1 [/mm] ja eine Sigma-Algebra ist.
Dann liegt X auch in [mm] A_2 [/mm] und in allen folgenden [mm] A_n, [/mm] weil sie aufsteigend sind. Also liegt X auch in der Vereinigung aller [mm] A_n, [/mm] d.h. [mm] X\in \bigcup_{n\in\IN}A_n
[/mm]
Stimmt das so?
ii) zz.: Irgendeine Menge B [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}A_n \Rightarrow B^c \in \bigcup_{n\in\IN}A_n
[/mm]
Beweis: Naja, da wird es dann schwammig. Wir wissen noch, dass man [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] umschreiben kann in [mm] (\bigcap_{n\in\IN}A_n ^c)^c.
[/mm]
Ist das erstmal richtig?
Aber dann wissen wir nicht mehr weiter. Könnt ihr uns einen Tip geben?
iii) zz.: normalerweise nimmt man hier mehrere Teilmengen der Sigma-Algebra und zeigt, dass auch die unendliche Vereinigung der Teilmengen wieder eine Sigma-Algebra ist.
Wir kommen hier schon bei dem zu zeigen nicht weiter... :-(
Wir freuen uns über jede Antwort!
Grüße Plapper
P.S.: Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten in andere Foren gestellt.
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Hiho,
überlege dir, warum hier gilt:
$B [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}A_n \gdw \exists n_0\in\IN: [/mm] B [mm] \in A_{n_0}$
[/mm]
Inwieweit hilft dir das?
edit: Achja, den iii) Punkt versteh ich bei dir nicht so ganz. Du sollst zeigen, dass da eine ALGEBRA rauskommt und keine [mm] \sigma-Algebra... [/mm] also alles schön endlich und damit einfach, oder?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Wenn ein [mm] n_0 [/mm] existiert, so dass B [mm] \in A_n_0, [/mm] heißt dass dann, dass [mm] A_n_o \subset A_1 \subset... [/mm] ist? Wohl eher nicht, oder?
zu iii) naja, endlich ist ja schön und gut. Aber hier haben wir ja schon eine Vereinigung von Sigma-Algebren. Was soll ich denn dann von Neuem wieder vereinigen? Oder ist das schon trivial, weil ich ja eh schon eine Vereinigung von Sigma-Algebren HABE. Dann bleibt doch ncihts zu zeigen?
Danke für deine Hilfe!
Grüße Plapper
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Hey, du sollst zeigen, dass $ [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] $ eine ALGEBRA ist, d.h. du musst zeigen, dass für endlich viele [mm] $B_1,....,B_n$ [/mm] auch gilt
$ [mm] \bigcup_{k=1}^n B_k \in \bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] $
Und nein, $B [mm] \in A_{n_0}$ [/mm] meint ein [mm] A_{n_0} [/mm] irgendwo, halt:
[mm] $A_1 \subset A_2 \subset [/mm] ... [mm] \subset A_{n_0}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Also sei [mm] B_i \in \bigcup_{n \in\IN} A_n, [/mm] dann ist auch [mm] \bigcup_{i=1}^{n} B_i \in \bigcup_{n \in\IN} A_n. [/mm]
Wenn also [mm] B_i [/mm] in der Vereinigung der [mm] A_n [/mm] liegt, dann liegt auch die vereinigung aller [mm] B_i [/mm] in der Vereinigung der [mm] A_n. [/mm]
Richtig?
Und nun nochmal zu dem ii)...
Also, hab ichs mir ja doch gedacht... Es ist also irgendein [mm] n_0.
[/mm]
Wenn B also aus [mm] \bigcup_{n \in\IN} A_n [/mm] ist, dann ist B definitv auch in irgendeinem A drin, zum Beispiel in [mm] A_{n_0}. [/mm] Weil [mm] A_{n_0} [/mm] eine Sigma-Algebra ist, ist auch [mm] B^c [/mm] in [mm] A_{n_0}. [/mm]
Und nun kann ich draus folgern, dass wenn B [mm] \in A_{n_0} \Rightarrow [/mm] B [mm] \in \bigcup_{n \in\IN} A_n
[/mm]
Und aus [mm] B^c \in A_{n_0} [/mm] folgt dann, dass [mm] B^c \in \bigcup_{n \in\IN} A_n
[/mm]
Kann man das so schreiben?
Danke für deine Hilfe
Plapper
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> Hallo...
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> Also sei [mm]B_i \in \bigcup_{n \in\IN} A_n,[/mm] dann ist auch
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n} B_i \in \bigcup_{n \in\IN} A_n.[/mm]
> Wenn also [mm]B_i[/mm] in der Vereinigung der [mm]A_n[/mm] liegt, dann liegt
> auch die vereinigung aller [mm]B_i[/mm] in der Vereinigung der [mm]A_n.[/mm]
> Richtig?
Ja, das musst du zeigen.
> Und nun kann ich draus folgern, dass wenn B [mm]\in A_{n_0} \Rightarrow[/mm]
> B [mm]\in \bigcup_{n \in\IN} A_n[/mm]
> Und aus [mm]B^c \in A_{n_0}[/mm] folgt
> dann, dass [mm]B^c \in \bigcup_{n \in\IN} A_n[/mm]
>
> Kann man das so schreiben?
Nein, eher so: $B [mm] \in \bigcup_{n \in\IN} A_n \Rightarrow \exists n_0: [/mm] B [mm] \in A_{n_0} \Rightarrow B^c \in A_{n_0} \Rightarrow B^c \in \bigcup_{n \in\IN} A_n$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Di 03.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Hallo!
Danke für deine Hilfe!
Wir haben das nun so aufgeschrieben. Das X in der Menge der Vereinigungen liegt, war ja wahrscheinlich richtig. (Du hattest zumindest nichts falsches gefunden... )
Das mit dem Komplement haben wir verstanden, danke!
Und mit der endlichen Vereinigung....
zz.: [mm] B_i \in \bigcup_{n \in\IN}A_n \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{k}B_i \in \bigcup_{n\in \IN}A_n
[/mm]
Also: Sei ein [mm] B_i \in A_{n_0}, n_0 \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow B_i \in \bigcup_{n\in \IN}A_n. [/mm]
[mm] \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{k}B_i \in \bigcup_{n \in \IN}A_n
[/mm]
Eigentlich ist das letzte ja auch irgendwie klar. Nur reicht es, das Ganze mathematisch so aufzuschreiben?
Liebe Grüße und danke
Plapper
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Hiho,
> Also: Sei ein [mm]B_i \in A_{n_0}, n_0 \in \IN[/mm]
> [mm]\Rightarrow B_i \in \bigcup_{n\in \IN}A_n.[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{k}B_i \in \bigcup_{n \in \IN}A_n[/mm]
>
an deiner Beweisführung erkenne ich, dass du es noch nicht verstanden hast.
Du fängst NICHT an mit "Sei ein [mm]B_i \in A_{n_0}, n_0 \in \IN[/mm]", das ist nämlich falsch!
Du hast doch selbst geschrieben, was du zeigen willst, nämlich:
> zz.: [mm]B_i \in \bigcup_{n \in\IN}A_n \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{k}B_i \in \bigcup_{n\in \IN}A_n[/mm]
D.h. du musst anfangen mit:
Seien [mm] $B_1,...., B_n$ [/mm] gegeben mit [mm] $B_i \in \bigcup_{n \in\IN}A_n$.... [/mm] so, und nun weiter!
Es läuft nachher darauf hinaus, dass alle [mm] B_i [/mm] in einer bestimmten [mm] \sigma-Algebra [/mm] drin sind, die wir dann [mm] A_{n_0} [/mm] nennen können, aber warum, das musst du schon noch hinschreiben!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Vielen lieben Dank für deine Hilfe! Hat mir sehr geholfen!
Liebe Grüße, Plapper
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