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| Aufgabe | Zeige:
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \sqrt{n}*(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
[/mm]
ist monoton wachsend. |
Hallo!
Die obige Aufgabe ist mir schon insofern gelungen zu lösen, dass ich mit der Vermutung
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}$
[/mm]
bis zum Punkt
[mm] $\frac{2*\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} [/mm] > 1$
gekommen bin. Nur gestaltet es sich jetzt für mich sehr schwierig, "elegant" weiter fortzufahren, denn nun würde ich zu
[mm] $2*\sqrt{n+1} [/mm] > [mm] \sqrt{n+2}+\sqrt{n}$
[/mm]
umformen und nun durch zweimaliges quadrieren (beide Seiten positiv) zeigen, dass die Ungleichung stimmt. Das wollte ich aber eigentlich nicht machen, sondern die wahre Aussage durch abschätzen herbeiführen, d.h. zeigen, dass
[mm] $\frac{2*\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} [/mm] > ... > 1$
ist. Nur will es mir nicht gelingen, da ich wegen [mm] $\sqrt{n+2} [/mm] > [mm] \sqrt{n+1} [/mm] > [mm] \sqrt{n}$ [/mm] weder den Zähler noch den Nenner vernünftig abschätzen kann...
Hat jemand von euch eine Idee?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Stefan
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Hallo Stefan!
Man kann die Folge umformen zu:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}$$
[/mm]
Kommst Du nun besser klar? Immerhin ist der Term im Nenner monoton fallend.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
danke für deinen Hinweis  . Habe nacheinander gezeigt, dass [mm] \frac{1}{n} [/mm] monoton fallend, dann 1 + [mm] \frac{1}{n}, [/mm] folglich auch die Wurzel davon usw.,
und somit der gesamte Bruch monoton wachsend sein muss.
Grüße,
Stefan
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