Folge komplexer Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 20.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der komplexen Folge:
$ [mm] \lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} [/mm] $ |
Hallo,
ich bin mir bei der Lösung dieser Aufgabe nicht so ganz sicher und wollte darum eventuell um Rückmeldung bitten.
Ich hab' zunächst den Betrag von $ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) [/mm] $ betrachtet.
Es ist $ |z| = | [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) [/mm] | = [mm] \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} [/mm] = 1 $
Daraus folgt, dass $ [mm] |z|^{\sqrt{n!}} [/mm] = [mm] |z^{\sqrt{n!}}| \to [/mm] 1 $ mit [mm] $\sqrt{n!} \to \infty [/mm] $ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $
Ich war mir allerdings nicht mehr ganz sicher, ob ich aus $ [mm] |z_n| \to [/mm] z $ auf $ [mm] z_n \to [/mm] z $ schließen darf.
Ich meine jedenfalls schon. Man kann es jedenfalls auch leicht zeigen:
Sei also $ [mm] z_n \in \IC [/mm] $ eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit Grenzwert $ z [mm] \in \IC [/mm] $.
Dann gilt $ [mm] |z_n| \to [/mm] z [mm] \Rightarrow z_n \to [/mm] z $
Beweis:
Wegen $ [mm] |z_n| \to [/mm] z $ ist $ [mm] \left| |z_n| - z \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0(\varepsilon) [/mm] $
Es ist $ [mm] |z_n| \ge z_n [/mm] $ also auch $ [mm] |z_n| [/mm] - z [mm] \ge z_n [/mm] - z $ und somit
$ [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \left| |z_n| - z \right| \ge [/mm] | [mm] z_n [/mm] - z | \ \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0(\varepsilon) [/mm] \ \ \ [mm] \Box [/mm] $
Also ist $ [mm] \lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} [/mm] = 1 $
Würde mich über Feedback freuen!
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Bestimmen Sie den Grenzwert der komplexen Folge:
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> [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mir bei der Lösung dieser Aufgabe nicht so ganz
> sicher und wollte darum eventuell um Rückmeldung bitten.
>
> Ich hab' zunächst den Betrag von [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)[/mm]
> betrachtet.
>
> Es ist [mm]|z| = | \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) | = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]|z|^{\sqrt{n!}} = |z^{\sqrt{n!}}| \to 1[/mm]
> mit [mm]\sqrt{n!} \to \infty[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
>
> Ich war mir allerdings nicht mehr ganz sicher, ob ich aus
> [mm]|z_n| \to z[/mm] auf [mm]z_n \to z[/mm] schließen darf.
>
> Ich meine jedenfalls schon. Man kann es jedenfalls auch
> leicht zeigen:
Hmm, was ist mit [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
Letzter GW existiert doch nicht!
>
> Sei also [mm]z_n \in \IC[/mm] eine konvergente Folge komplexer
> Zahlen mit Grenzwert [mm]z \in \IC [/mm].
>
> Dann gilt [mm]|z_n| \to z \Rightarrow z_n \to z[/mm]
>
> Beweis:
>
> Wegen [mm]|z_n| \to z[/mm] ist [mm]\left| |z_n| - z \right| < \varepsilon \ \forall n \ge n_0(\varepsilon)[/mm]
>
> Es ist [mm]|z_n| \ge z_n[/mm] also auch [mm]|z_n| - z \ge z_n - z[/mm] und
> somit
>
> [mm]\varepsilon > \left| |z_n| - z \right| \ge | z_n - z | \ \ \forall n \ge n_0(\varepsilon) \ \ \ \Box[/mm]
>
> Also ist [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} = 1[/mm]
>
> Würde mich über Feedback freuen!
Ich fürchte, du musst ander herangehen an das Biest, weiß aber im Moment auch (noch?) nicht, wie ...
Aber ich denke nach - einstweilen stelle ich das auf teilweise beantwortet
> Vielen Dank
>
> Grüße
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 20.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hey schachuzipus,
>
> Hmm, was ist mit
> [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
>
> Letzter GW existiert doch nicht!
Tatsächlich! Daran hab' ich nicht gedacht. Für reelle Folgen müsste es allerdings funktionieren, oder?
>
> Ich fürchte, du musst ander herangehen an das Biest, weiß
> aber im Moment auch (noch?) nicht, wie ...
>
> Aber ich denke nach - einstweilen stelle ich das auf
> teilweise beantwortet
Alles klar, dank dir.
>
> > Vielen Dank
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo nochmal,
> Hey schachuzipus,
>
>
> >
> > Hmm, was ist mit
> > [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
> >
> > Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
> >
> > Letzter GW existiert doch nicht!
>
> Tatsächlich! Daran hab' ich nicht gedacht. Für reelle
> Folgen müsste es allerdings funktionieren, oder?
Hmm, nahezu identisches Gegenbsp: [mm](z_n)_{n\in\IN}=\big((-1)^n\big)_{n\in\IN}[/mm]
>
>
> >
> > Ich fürchte, du musst ander herangehen an das Biest, weiß
> > aber im Moment auch (noch?) nicht, wie ...
> >
> > Aber ich denke nach - einstweilen stelle ich das auf
> > teilweise beantwortet
>
> Alles klar, dank dir.
>
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Grüße
> > > ChopSuey
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 20.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hey schachuzipus,
> Hallo nochmal,
>
>
> > Hey schachuzipus,
> >
> >
> > >
> > > Hmm, was ist mit
> > > [mm](z_n)_{n\in\IN}=\left(i^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
> > >
> > > Da ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}|z_n|=1[/mm], aber was ist mit
> > > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ??
> > >
> > > Letzter GW existiert doch nicht!
> >
> > Tatsächlich! Daran hab' ich nicht gedacht. Für reelle
> > Folgen müsste es allerdings funktionieren, oder?
>
> Hmm, nahezu identisches Gegenbsp:
> [mm](z_n)_{n\in\IN}=\big((-1)^n\big)_{n\in\IN}[/mm]
Achja klar, oh mann. 
Das hatten wir in Analysis I eigentlich zu genüge. Blöd, dass ich das vergaß.
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 20.10.2010 | | Autor: | abakus |
Ich muss den Beitrag löschen.
Der Rechner hängt komischerweise beim Übersetzen der Formel
\ Wurzel(n!).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 20.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Grenzwert der komplexen Folge:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mir bei der Lösung dieser Aufgabe nicht so ganz
> sicher und wollte darum eventuell um Rückmeldung bitten.
>
> Ich hab' zunächst den Betrag von [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)[/mm]
> betrachtet.
>
> Es ist [mm]|z| = | \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) | = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1[/mm]
Das bedeutet: Sämtliche Folgenglieder befinden sich auf dem Einheitskreis.
Das Argument des ersten Folgengliedes ist -45°,
das n-te Folgenglied hat das Argument (-45°)*Wurzel(n!)
Die Frage ist ganz einfach:
Konvergiert Wurzel(n!) gegen irgendeinen festen Wert (dann konvergiert auch z gegen einen bestimmten Punkt des Einheitskreises)
oder
wird Wurzel(n!) mit zunehmendem n "2 [mm] \pi [/mm] - periodisch" (dann würde sich das Argument zwar ständig ändern, aber z trotzdem gegen einen bestimmten Punkt des Einheitskreises konvergieren)
oder
"umkreist" das Argument fröhlich den Einheitskreis in allen möglichen Stellungen?
Gruß Abakus
>
> Daraus folgt, dass [mm]|z|^{\sqrt{n!}} = |z^{\sqrt{n!}}| \to 1[/mm]
> mit [mm]\sqrt{n!} \to \infty[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
>
> Ich war mir allerdings nicht mehr ganz sicher, ob ich aus
> [mm]|z_n| \to z[/mm] auf [mm]z_n \to z[/mm] schließen darf.
>
> Ich meine jedenfalls schon. Man kann es jedenfalls auch
> leicht zeigen:
>
> Sei also [mm]z_n \in \IC[/mm] eine konvergente Folge komplexer
> Zahlen mit Grenzwert [mm]z \in \IC [/mm].
>
> Dann gilt [mm]|z_n| \to z \Rightarrow z_n \to z[/mm]
>
> Beweis:
>
> Wegen [mm]|z_n| \to z[/mm] ist [mm]\left| |z_n| - z \right| < \varepsilon \ \forall n \ge n_0(\varepsilon)[/mm]
>
> Es ist [mm]|z_n| \ge z_n[/mm] also auch [mm]|z_n| - z \ge z_n - z[/mm] und
> somit
>
> [mm]\varepsilon > \left| |z_n| - z \right| \ge | z_n - z | \ \ \forall n \ge n_0(\varepsilon) \ \ \ \Box[/mm]
>
> Also ist [mm]\lim_{n \to \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^{\sqrt{n!}} = 1[/mm]
>
> Würde mich über Feedback freuen!
> Vielen Dank
>
> Grüße
> ChopSuey
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