Folge finden-Konvergenz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mariem |
Hallo,
wie kann ich, in einen Raum [mm] L^p, [/mm] eine Folge finden die in [mm] L^p [/mm] konvegiert aber nicht fast überall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wie kann ich, in einen Raum [mm]L^p,[/mm] eine Folge finden die in
> [mm]L^p[/mm] konvegiert aber nicht fast überall?
Das ist nicht einfach ! Wir betrachten [mm] L^p([0,1]).
[/mm]
Weiter sei [mm] (I_n) [/mm] eine Folge von Intervallen:
[mm] I_1=[0,1], I_2=[0, \bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1], I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}), [/mm] ......
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] f_n:=1_{I_n}
[/mm]
Zeige:
1. [mm] ||f_n||_p \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
2. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mariem |
> Das ist nicht einfach ! Wir betrachten [mm]L^p([0,1]).[/mm]
>
> Weiter sei [mm](I_n)[/mm] eine Folge von Intervallen:
>
> [mm]I_1=[0,1], I_2=[0, \bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1], I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}),[/mm]
> ......
>
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_n:=1_{I_n}[/mm]
>
> Zeige:
>
> 1. [mm]||f_n||_p \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> 2. [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1]
>
> FRED
> >
>
Ok...
1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von den Intervallen, das gleich 0 ist?
2. Es gibt immer ein Intervall [mm] I_k [/mm] sodass x [mm] \in I_k. [/mm] Also [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Das ist nicht einfach ! Wir betrachten [mm]L^p([0,1]).[/mm]
> >
> > Weiter sei [mm](I_n)[/mm] eine Folge von Intervallen:
> >
> > [mm]I_1=[0,1], I_2=[0, \bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1], I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}),[/mm]
> > ......
> >
> > Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_n:=1_{I_n}[/mm]
> >
> > Zeige:
> >
> > 1. [mm]||f_n||_p \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> > 2. [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1]
> >
> > FRED
> > >
> >
>
> Ok...
>
> 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> den Intervallen, das gleich 0 ist?
Hä ??? Was ist f ? Es ist [mm] ||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = Lebesguemaß auf [mm] \IR
[/mm]
>
> 2. Es gibt immer ein Intervall [mm]I_k[/mm] sodass x [mm]\in I_k.[/mm]
Was willst Du uns damit sagen ?????
> Also
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].
Was heißt hier "Also" ? Gezeigt hast Du nix. Derartige "Argumentationen" haben mit Marthematik nichts zu tun.
FRED
>
> Ist das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mariem |
> > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > den Intervallen, das gleich 0 ist?
>
> Hä ??? Was ist f ? Es ist
> [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
[mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
[mm] \overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
Wie kann man zeigen dass [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm] ?
> > 2. Es gibt immer ein Intervall [mm]I_k[/mm] sodass x [mm]\in I_k.[/mm]
>
> Was willst Du uns damit sagen ?????
>
> > Also
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].
>
>
> Was heißt hier "Also" ? Gezeigt hast Du nix. Derartige
> "Argumentationen" haben mit Marthematik nichts zu tun.
Gilt es nicht dass [mm]\forall x \in [0, 1], x \in I_k[/mm] für ein [mm]k[/mm]?
In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]. Also ist die Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
Oder habe ich es falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > > den Intervallen, das gleich 0 ist?
> >
> > Hä ??? Was ist f ? Es ist
> > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>
> [mm]\overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
>
> Wie kann man zeigen dass [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm]
Schau Dir doch an, wie die [mm] I_n [/mm] definiert sind !!!!!
> ?
>
>
>
> > > 2. Es gibt immer ein Intervall [mm]I_k[/mm] sodass x [mm]\in I_k.[/mm]
> >
> > Was willst Du uns damit sagen ?????
> >
> > > Also
> > > [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].
> >
> >
> > Was heißt hier "Also" ? Gezeigt hast Du nix. Derartige
> > "Argumentationen" haben mit Marthematik nichts zu tun.
>
> Gilt es nicht dass [mm]\forall x \in [0, 1], x \in I_k[/mm] für ein
> [mm]k[/mm]?
Doch das gilt.
>
> In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
Welche Funktion ???
> . Also ist die
> Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
Welche Funktion ????
FRED
>
> Oder habe ich es falsch verstanden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mariem |
> > > > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > > > den Intervallen, das gleich 0 ist?
> > >
> > > Hä ??? Was ist f ? Es ist
> > > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
> >
> > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
> >
> > [mm]\overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
>
> >
> > Wie kann man zeigen dass [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm]
>
> Schau Dir doch an, wie die [mm]I_n[/mm] definiert sind !!!!!
Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des Intervalles zu [mm]0[/mm] ?
> > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
>
> Welche Funktion ???
>
> > . Also ist die
> > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
>
> Welche Funktion ????
Ich meine die [mm]f[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > > > > den Intervallen, das gleich 0 ist?
> > > >
> > > > Hä ??? Was ist f ? Es ist
> > > > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
> > >
> > > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie kann man zeigen dass [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm]
> >
> > Schau Dir doch an, wie die [mm]I_n[/mm] definiert sind !!!!!
>
>
> Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des
> Intervalles zu [mm]0[/mm] ?
Ja, zeige das.
>
>
>
>
>
> > > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
> >
> > Welche Funktion ???
> >
> > > . Also ist die
> > > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
> >
> > Welche Funktion ????
>
> Ich meine die [mm]f[/mm].
Welche f ? Ich habe Dir vorhin eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von Funktionen angegeben.
Von [mm] (f_n) [/mm] sollst Du zeigen, dass [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] nicht fast überall konvergiert. Ist Dir eigentlich klar, was Du dazu zeigen musst ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mariem |
> > Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des
> > Intervalles zu [mm]0[/mm] ?
>
> Ja, zeige das.
Wie kann ich das zeigen?
> > > > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
> > >
> > > Welche Funktion ???
> > >
> > > > . Also ist die
> > > > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
> > >
> > > Welche Funktion ????
> >
> > Ich meine die [mm]f[/mm].
>
> Welche f ? Ich habe Dir vorhin eine Folge [mm](f_n)[/mm] von
> Funktionen angegeben.
>
> Von [mm](f_n)[/mm] sollst Du zeigen, dass [mm](f_n)[/mm] auf [0,1] nicht fast
> überall konvergiert. Ist Dir eigentlich klar, was Du dazu
> zeigen musst ?
Wie kann man das zeigen? Kannst du mir ein Tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des
> > > Intervalles zu [mm]0[/mm] ?
> >
> > Ja, zeige das.
>
>
> Wie kann ich das zeigen?
Ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist, wie die [mm] I_n [/mm] def. sind. Ich habe Dir [mm] I_1 [/mm] bis [mm] I_5 [/mm] genannt. Zum Test nennst Du jetzt
[mm] I_6,I_7 [/mm] und [mm] I_8.
[/mm]
>
>
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> > > > > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
> > > >
> > > > Welche Funktion ???
> > > >
> > > > > . Also ist die
> > > > > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
> > > >
> > > > Welche Funktion ????
> > >
> > > Ich meine die [mm]f[/mm].
> >
> > Welche f ? Ich habe Dir vorhin eine Folge [mm](f_n)[/mm] von
> > Funktionen angegeben.
> >
> > Von [mm](f_n)[/mm] sollst Du zeigen, dass [mm](f_n)[/mm] auf [0,1] nicht fast
> > überall konvergiert. Ist Dir eigentlich klar, was Du dazu
> > zeigen musst ?
>
>
> Wie kann man das zeigen? Kannst du mir ein Tipp geben?
zeige: zu x [mm] \in [/mm] [0,1] gibt es eine Teilfolge [mm] (f_{n_j}) [/mm] von [mm] (f_n) [/mm] mit:
[mm] f_{n_j}(x) \to [/mm] 1 (j [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:05 Do 11.12.2014 | | Autor: | mariem |
> Ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist, wie die [mm]I_n[/mm]
> def. sind. Ich habe Dir [mm]I_1[/mm] bis [mm]I_5[/mm] genannt. Zum Test
> nennst Du jetzt
>
> [mm]I_6,I_7[/mm] und [mm]I_8.[/mm]
[mm]I_6=[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}), I_7=[\frac{3}{4}, 1], I_8=[0, \frac{1}{8})[/mm]
Ist das richtig?
> zeige: zu x [mm]\in[/mm] [0,1] gibt es eine Teilfolge [mm](f_{n_j})[/mm] von
> [mm](f_n)[/mm] mit:
>
> [mm]f_{n_j}(x) \to[/mm] 1 (j [mm]\to \infty)[/mm]
Kannst du mir ein Tipp geben wie ich das zeigen kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 13.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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