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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 05.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Folgende Folge soll auf Konvergenz/Grenzwert geprüft werden:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n} [/mm] für 0 < a < b.
Diese Aufgabe macht mir leider viele Probleme =/
Nach meinem TR kommt immer b raus, aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Folgende Idee hatte ich:
[mm] \wurzel[n]{a^n+b^n} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{b^n+b^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] *b und das läuft für n gegen unendlich gegen b.
Das hieße aber bis jetzt nur, dass die Folge nach oben beschränkt ist. (Nach unten sowieso wegen denn [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n} [/mm] > 0 ).
Wie kann ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo hilbert,
> Folgende Folge soll auf Konvergenz/Grenzwert geprüft
> werden:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] für 0 < a < b.
>
> Diese Aufgabe macht mir leider viele Probleme =/
>
> Nach meinem TR kommt immer b raus, aber ich weiß nicht wie
> ich das zeigen soll.
>
> Folgende Idee hatte ich:
>
> [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] < [mm]\wurzel[n]{b^n+b^n}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{2}[/mm] *b und das läuft für n gegen unendlich
> gegen b.
>
> Das hieße aber bis jetzt nur, dass die Folge nach oben
> beschränkt ist. (Nach unten sowieso wegen denn
> [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] > 0 ).
Jo, aber du müsstest ja auch eine untere Schrankenfolge angeben, die gegen [mm]b[/mm] konvergiert, um eine sinnvolle Aussage gem. Sandwichlemma zu bekommen.
>
> Wie kann ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Klammere unter der Wurzel [mm]b^n[/mm] aus ...
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
$b = [mm] \wurzel[n]{b^n} \le a_n.$
[/mm]
FRED
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Hallo hilbert,
Du kannst natürlich auch [mm] a^n [/mm] ausklammern, das funktioniert genauso.
In beiden Fällen hast Du dann einen konstanten Faktor vor der Wurzel, den Du nach den Grenzwertsätzen sogar vor den Limes ziehen kannst.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Do 06.10.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
> Du kannst natürlich auch [mm]a^n[/mm] ausklammern, das funktioniert genauso.
Ich widerspreche Dir natürlich äußerst ungerne ... aber wie soll das funktionieren? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Do 06.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Loddar,
[mm] \lim_{n\to\infty}\wurzel[n]{a^n+b^n}=\lim_{n\to\infty}a\wurzel[n]{1+\left(\bruch{b}{a}\right)^n}=a\lim_{n\to\infty}\wurzel[n]{1+\left(\bruch{b}{a}\right)^n}=\cdots
[/mm]
Siehst Du's jetzt? Es gilt b>a>0.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Ihr "Ausklammerer",
die "Ausklammermethode" funktioniert nicht mehr so doll, wenn mehr als 2 Summanden unter der Wurzel stehen.
Sind [mm] x_1,...,x_k \in [/mm] [0, [mm] \infty), [/mm] so gilt für [mm] a_n:=\wurzel{x_1^n+...+x_k^n}:
[/mm]
[mm] $a_n \to [/mm] max [mm] \{x_1,...,x_k\}$ [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Beweis:
OB.d.A. sei [mm] x_1= [/mm] max [mm] \{x_1,...,x_k\}; [/mm] dann ist
[mm] $x_1= \wurzel[n]{x_1^n} \le a_n \le \wurzel[n]{nx_1^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} x_1$
[/mm]
Edit. es sollt so lauten:
[mm] $x_1= \wurzel[n]{x_1^n} \le a_n \le \wurzel[n]{kx_1^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{k} x_1$
[/mm]
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Do 06.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Hallo Ihr "Ausklammerer",
>
> die "Ausklammermethode" funktioniert nicht mehr so doll,
> wenn mehr als 2 Summanden unter der Wurzel stehen.
Wenn Du den größten ausklammerst, funktioniert sie auch dann ganz gut.
> Sind [mm]x_1,...,x_k \in[/mm] [0, [mm]\infty),[/mm] so gilt für
> [mm]a_n:=\wurzel{x_1^n+...+x_k^n}:[/mm]
>
> [mm]a_n \to max \{x_1,...,x_k\}[/mm] für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Beweis:
>
> OB.d.A. sei [mm]x_1=[/mm] max [mm]\{x_1,...,x_k\};[/mm] dann ist
>
> [mm]x_1= \wurzel[n]{x_1^n} \le a_n \le \wurzel[n]{nx_1^n} = \wurzel[n]{n} x_1[/mm]
Hier genügt doch [mm] x_1=\wurzel[n]{x_1^n}\le a_n\le \wurzel[n]{\blue{k}x_1^n}=\wurzel[n]{\blue{k}}*x_1
[/mm]
Immer die geeignete Munitionsgröße wählen...
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Hallo Ihr "Ausklammerer",
> >
> > die "Ausklammermethode" funktioniert nicht mehr so doll,
> > wenn mehr als 2 Summanden unter der Wurzel stehen.
>
> Wenn Du den größten ausklammerst, funktioniert sie auch
> dann ganz gut.
>
> > Sind [mm]x_1,...,x_k \in[/mm] [0, [mm]\infty),[/mm] so gilt für
> > [mm]a_n:=\wurzel{x_1^n+...+x_k^n}:[/mm]
> >
> > [mm]a_n \to max \{x_1,...,x_k\}[/mm] für n [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> > Beweis:
> >
> > OB.d.A. sei [mm]x_1=[/mm] max [mm]\{x_1,...,x_k\};[/mm] dann ist
> >
> > [mm]x_1= \wurzel[n]{x_1^n} \le a_n \le \wurzel[n]{nx_1^n} = \wurzel[n]{n} x_1[/mm]
>
> Hier genügt doch [mm]x_1=\wurzel[n]{x_1^n}\le a_n\le \wurzel[n]{\blue{k}x_1^n}=\wurzel[n]{\blue{k}}*x_1[/mm]
>
> Immer die geeignete Munitionsgröße wählen...
Hallo reverend,
klar, da hab ich mich vertippt
FRED
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>
> rev
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