Folge/Reihe Hinweis: Cauchy-Kr < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)
Die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] sei monoton fallend. ferner konvergiere die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] . Dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (n [mm] \* a_{n} [/mm] ) = 0
2) Gilt die Aussage auch ohne die Annahme , [mm] a_{n} [/mm] sei monoton fallend?
3)
Beweisen sie: sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] eine Absolut konvergente Reihe und [mm] b_{n} [/mm] beschränkte Zahlenfolge. Dann ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \* b_{n} [/mm] absolut konvergent.
4) zeigen Sie: Die Aussage in 3) wird falsch, wenn man die Annahme absolut konvergent durch konvergent ersetzt. |
Huhu,
1) hab ich leider keinen Ansatz. Hinweis hierzu ist das Cauchy-Kriterium.
2) Gilt die Aussage auch ohne die Annahme , [mm] a_{n} [/mm] sei monoton fallend?
Ja würd ich sagen, aufgrund der tatsache, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist. (obowohl, ist eine Nullfolge nicht immer monoton fallend?)
3)
Nachdem Trivialkriterium kann ich sagen, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist. Definiere nun eine beschränkte Folge [mm] b_{n} [/mm] die beschränkt wird durch n [mm] \in \IN [/mm] , sprich [mm] b_{n} \le [/mm] N . sei nun [mm] c_{n} [/mm] := N für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n} \* b_{n}| \le |a_{n} \* c_{n}| \le [/mm] |0 [mm] \* [/mm] N| = |N [mm] \* [/mm] 0| = 0.
4)
als Hinweis: Beispiel!
Betrachte die konvergente Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \* \bruch{1}{n} [/mm] . Sie ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, denn in Betrag wäre diese Reihe die bekannterweise divergente harmonische Reihe. Dann wäre die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}\*b_{n} [/mm] (unbestimmt?) divergent.
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Hiho,
> 1) hab ich leider keinen Ansatz. Hinweis hierzu ist das
> Cauchy-Kriterium.
brauchst du nicht.
Mach dir klar, dass [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ sofort aus den Eigenschaften folgt.
Damit gilt [mm] $n*a_n \ge [/mm] 0$.
Nimm nun an, dass [mm] $n*a_n \not\to [/mm] 0$, daraus folgt, dass ein [mm] \varepsilon [/mm] existiert, so dass [mm] $n*a_n >\varepsilon \gdw a_n [/mm] > [mm] \bruch{\varepsilon}{n}$ [/mm] immer mal wieder.
Führe das nun zum Widerspruch zu den Voraussetzungen.
> 2) Gilt die Aussage auch ohne die Annahme , [mm]a_{n}[/mm] sei
> monoton fallend?
> Ja würd ich sagen, aufgrund der tatsache, dass [mm]a_{n}[/mm] eine
> Nullfolge ist. (obowohl, ist eine Nullfolge nicht immer
> monoton fallend?)
Nein, es gilt nicht. Versuch mal [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{-1}{n}$
[/mm]
> 3)
>
> Nachdem Trivialkriterium kann ich sagen, dass die Folge
> [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge ist. Definiere nun eine beschränkte
> Folge [mm]b_{n}[/mm] die beschränkt wird durch n [mm]\in \IN[/mm] , sprich
> [mm]b_{n} \le[/mm] N . sei nun [mm]c_{n}[/mm] := N für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Dann
> gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n} \* b_{n}| \le |a_{n} \* c_{n}| \le[/mm]
> |0 [mm]\*[/mm] N| = |N [mm]\*[/mm] 0| = 0.
Nun hast du gezeigt, dass [mm] a_n*b_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Das sichert dir aber noch lange nicht die Konvergenz von [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n*b_n$
[/mm]
Deine Idee mit der Abschätzung ist aber nicht schlecht.
Absolute Konvergenz bedeutet ja, dass die Summe der Beträge konvergiert, fange also genau so an:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty |a_n*b_n| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty |a_n|*|b_n| \le \ldots$
[/mm]
> 4)
>
> als Hinweis: Beispiel!
>
> Betrachte die konvergente Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \* \bruch{1}{n}[/mm]
> . Sie ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, denn
> in Betrag wäre diese Reihe die bekannterweise divergente
> harmonische Reihe. Dann wäre die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}\*b_{n}[/mm] (unbestimmt?) divergent.
Kommt auf das [mm] b_n [/mm] an!
Wähle dir ein geeignetes, damit die Reihe divergent wird.
Welches [mm] b_n [/mm] bietet sich dafür an?
MFG,
Gono.
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zu 1)
[mm] n\cdot{}a_n >\varepsilon \gdw a_n [/mm] > [mm] \bruch{\varepsilon}{n}
[/mm]
aus dem Trivialkriterium folgt, dass [mm] a_{n} [/mm] ne nullfolge ist, [mm] \bruch{\varepsilon}{n} [/mm] kann ja 0 werden für n gegen unendlich.
liegt der Widerspruch dann bei 0 > 0 ?
zu 3)
ich weiß nich sicher ob cauchy schwarzche ungleichung bei reihen gilt, wenn nicht hab ich nix gesagt, aber ist das
[mm] \summe_{n=1}^\infty |a_n\cdot{}b_n| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty |a_n|\cdot{}|b_n| [/mm] gleichsetzten denn hier dann richtig?
zu 4)
naja ich wollte halt [mm] b_{n} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] wählen
denn meine gepostete Reihe als Beispiel ist ja dann z.b. [mm] (-1)^n \* \bruch{1}{n} [/mm] und die ist nicht absolut konvergent.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu 1)
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> [mm]n\cdot{}a_n >\varepsilon \gdw a_n[/mm] > [mm]\bruch{\varepsilon}{n}[/mm]
>
> aus dem Trivialkriterium folgt, dass [mm]a_{n}[/mm] ne nullfolge
> ist, [mm]\bruch{\varepsilon}{n}[/mm] kann ja 0 werden für n gegen
> unendlich.
> liegt der Widerspruch dann bei 0 > 0 ?
Nein. Schau mal hier: https://matheraum.de/forum/Konvergenzverhalten/t722454
>
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> zu 3)
> ich weiß nich sicher ob cauchy schwarzche ungleichung bei
> reihen gilt,
Die gilt !
> wenn nicht hab ich nix gesagt, aber ist das
>
> [mm]\summe_{n=1}^\infty |a_n\cdot{}b_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^\infty |a_n|\cdot{}|b_n|[/mm]
> gleichsetzten denn hier dann richtig?
Falsch ist das nicht, denn da steht: Otto=Otto. Mehr nicht.
[mm] (b_n) [/mm] ist beschränkt, also gibt es ein c>0 mit: [mm] |b_n| \le [/mm] c für alle n.
Dann: [mm] |a_nb_n| \le c|a_n| [/mm] für alle n.
Jetzt Majorantenkriterium.
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> zu 4)
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> naja ich wollte halt [mm]b_{n}[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] wählen
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> denn meine gepostete Reihe als Beispiel ist ja dann z.b.
> [mm](-1)^n \* \bruch{1}{n}[/mm] und die ist nicht absolut
> konvergent.
Ja mit [mm]a_n= (-1)^n \* \bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] hast Du die richtige Wahl getroffen.
FRED
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