Folge: Konvergenz und Grenzwer < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Di 22.11.2005 | | Autor: | stak44 |
Die Folge ( [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] ) konvergiert und hat den Grenzwert 0.
Zur Konvergenz: Da die Reihe einen Grenzwert besitzt ist die Konvergenz doch eigentlich schon bewiesen, oder muss man noch was anderes dazu zeigen?
Zum Grenzwert: Wie zeige ich, dass [mm] n^{n} [/mm] "mehr" nach unendlich geht als n!? Daraus folgt dann ja auch der Grenzwert 0.
Bitte antwortet mir.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:04 Di 22.11.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich denke den Eigentlichen Grenzwert zu berchnen ist eher schwer.
Habt ihr vielleicht eine Abschätzung für n!, die Ihr benutzen dürft? Zum Beispiel die Stirling Formel ? Dann könntest Du mit dem Sandwich Lemma arbeiten. Ansonsten musst du wohl eine Beweis in Form von : Anahme : lim = 0 , Bew : "Es gibt nur diese Möglichkeit" machen. und dafür die Definition von konvergenz Benutzen.
Solltet ihr die Gammafunktion schon gehabt haben, kannst Du einfach l'Hopital anwenden.
Gruss
MrPink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Di 22.11.2005 | | Autor: | stak44 |
Nein, Abschätzungen hatten wir nicht.
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Hallo stak!
Zerlege den Ausdruck der Folgenvorschrift:
[mm] $\bruch{n!}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}^{= \ n \ Faktoren}}{\underbrace{n*n*n*...*n*n}_{= \ n \ Faktoren}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}}_{= \ n \ Faktoren}$
[/mm]
Und nun die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß vom
Roadrunner
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