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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo zusammen,
ich sollte folgende Folge auf Konvergenz überprüfen.
an= [mm] (\bruch{n+3}{n+2})^4^n^-^5
[/mm]
= [mm] (\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5
[/mm]
Wenn ich das gegen unendlich schieße, nachdem ich n rausgekürzt habe, was ich ausgeklammert habe läuft das doch gegen 1 ?
der Exponent kann ja so groß werden wie er will ...
Ist das richtig, danke schonmal
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Hallo yuppi,
> Hallo zusammen,
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> ich sollte folgende Folge auf Konvergenz überprüfen.
>
> an= [mm](\bruch{n+3}{n+2})^4^n^-^5[/mm]
>
> = [mm](\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5[/mm]
>
> Wenn ich das gegen unendlich schieße, nachdem ich n
> rausgekürzt habe, was ich ausgeklammert habe läuft das
> doch gegen 1 ?
Nein.
Benutze doch die Kenntnis, daß
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=e^{1}[/mm]
>
> der Exponent kann ja so groß werden wie er will ...
>
> Ist das richtig, danke schonmal
>
Nein, das ist nicht richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Also wenn man das so betrachtet konvergiert es gegen [mm] e^1 [/mm] und so lautet auch der Grenzwert.
Ich dachte ich dürfte dies hier nicht anwenden.
> = [mm](\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5[/mm]
Ich dachte das darf man nur anwenden wenn nur n im Exponenten steht. in diesem Fall steht ja 4n-5
Also das da sonst was stehen, aber eine Variable muss im Exponenten dabei sein, oder ?
Gruß yuppi
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Hallo yuppi,
> Also wenn man das so betrachtet konvergiert es gegen [mm]e^1[/mm]
> und so lautet auch der Grenzwert.
>
Das ist auch nicht der Grenzwert
>
> Ich dachte ich dürfte dies hier nicht anwenden.
>
> > = [mm](\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5[/mm]
>
> Ich dachte das darf man nur anwenden wenn nur n im
> Exponenten steht. in diesem Fall steht ja 4n-5
Und "n" ist hier auch mit von der Partie.
Schreibe dies mal so:
[mm]\left(\bruch{n+3}{n+2}\right)^{4n-5}=\left(1+\bruch{1}{n+2}\right)^{4n-5}[/mm]
Und forme dann entsprechend weiter um.
>
> Also das da sonst was stehen, aber eine Variable muss im
> Exponenten dabei sein, oder ?
Ja, in dem Fall n.
>
> Gruß yuppi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
Ich kam erst wieder auf [mm] e^1 [/mm] dann habe ich umgeformt wie du mir gesagt hast also:
Noch eine kurze Frage: Diese Umformung wie ich es am Anfang gemacht habe bringt wenig sind. Am besten wie du es gemacht die Summanden so schreiben, dass im Zähler dasselbe ist wie im Nenner. War schon in 3 Aufgaben so, vergesse es immer wieder. Ist eigentlich der beste Weg zum Ziel oder ?
>
> = [mm](\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5[/mm]
Also
[mm] =(1+\bruch{1}{n+2})^4^n^-^5
[/mm]
[mm] =(1+\bruch{1}{2(0,5n+1)})^4^n^-^5
[/mm]
[mm] =(1+\bruch{0,5}{(0,5n+1)})^4^n^-^5
[/mm]
Und somit konvergiert es gegen [mm] e^\bruch{1}{2}
[/mm]
Also aus dem Nenner, den größten Summanden noch rauskürzen ist Pflicht um auf den richtigen Grenzwert zu kommen. Also ich meine 2 ...
Besten Gruß yuppi
Und danke nochmals.. Hoffe es ist richtig =)
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> Hallo,
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> Ich kam erst wieder auf [mm]e^1[/mm] dann habe ich umgeformt wie du
> mir gesagt hast also:
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> Noch eine kurze Frage: Diese Umformung wie ich es am Anfang
> gemacht habe bringt wenig sind. Am besten wie du es gemacht
> die Summanden so schreiben, dass im Zähler dasselbe ist
> wie im Nenner. War schon in 3 Aufgaben so, vergesse es
> immer wieder. Ist eigentlich der beste Weg zum Ziel oder ?
> >
>
> > = [mm](\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5[/mm]
>
>
>
> Also
>
> [mm]=(1+\bruch{1}{n+2})^4^n^-^5[/mm]
du solltest evtl substituieren, wenn du sonst fehler machst:
z=n+2 [mm] \gdw [/mm] n=z-2
damit ergibt sich
[mm] (1+\bruch{1}{z})^{4z-13}=\left((1+\bruch{1}{z})^{z}\right)^4*(1+\bruch{1}{z})^{-13}
[/mm]
alternativ geht auch das erweitern mit der nahrhaften null im exponenten:
[mm] \left(1+\bruch{1}{n+2}\right)^{4(n+2-2)-5}=\left(1+\bruch{1}{n+2}\right)^{4(n+2)-13} [/mm] und dann wie oben fortfahren
>
> [mm]=(1+\bruch{1}{2(0,5n+1)})^4^n^-^5[/mm]
>
> [mm]=(1+\bruch{0,5}{(0,5n+1)})^4^n^-^5[/mm]
>
> Und somit konvergiert es gegen [mm]e^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Also aus dem Nenner, den größten Summanden noch
> rauskürzen ist Pflicht um auf den richtigen Grenzwert zu
> kommen. Also ich meine 2 ...
>
>
> Besten Gruß yuppi
>
> Und danke nochmals.. Hoffe es ist richtig =)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Wie ich auf [mm] e^\bruch{1}{2} [/mm] komme.
Ganz einfach:
( [mm] 1+\bruch{x}{n})^4^n^-^5
[/mm]
Und im Zähler des Bruchs 0,5 deshalb [mm] e^\bruch{1}{2}
[/mm]
Wie kommst du denn auf [mm] e^4
[/mm]
Also bis jetzt wars immer so richtig... Kannst du mir das bitte sagen wie du auf [mm] e^4 [/mm] kamst...
Gruß yuppi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Es heißt doch
[mm] (1+\bruch{x}{n})^n=e^x
[/mm]
Und ich habe diese 0,5 aus dem Zähler des Nenners... das sagt doch die Formel aus oder nicht ?
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> Es heißt doch
>
> [mm](1+\bruch{x}{n})^n=e^x[/mm]
so stimmts
>
> Und ich habe diese 0,5 aus dem Zähler des Nenners... das
> sagt doch die Formel aus oder nicht ?
du hast dann im nenner noch 0,5n+1 um im exponenten 4n-5
das muss angepasst werden wie auf 2 weisen von mir erwähnt
[mm] (1+\bruch{x}{n})^{2n} [/mm] ist ja auch [mm] e^{2x} [/mm] und nicht bloss [mm] e^x
[/mm]
gruß tee
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> Wie ich auf [mm]e^\bruch{1}{2}[/mm] komme.
>
> Ganz einfach:
>
>
> ( [mm]1+\bruch{x}{n})^4^n^-^5[/mm]
>
> Und im Zähler des Bruchs 0,5 deshalb [mm]e^\bruch{1}{2}[/mm]
dann hast dus die ganze zeit falsch angewendet.
hier ein ausschnitt aus meinem vorigen post:
$ [mm] (1+\bruch{1}{z})^{4z-13}=\left((1+\bruch{1}{z})^{z}\right)^4\cdot{}(1+\bruch{1}{z})^{-13} [/mm] $
[mm] (1+\bruch{1}{z})^{z} [/mm] konvergiert gegen [mm] e^1
[/mm]
die äussere potenz sorgt dann für [mm] e^4
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{z})^{-13} [/mm] das geht gegen 1
also im ergebnis erhalten wir [mm] e^4
[/mm]
und bevor du jetzt wieder wild eine antwort tippst, solltest du meinen weg nachvollziehen
>
> Wie kommst du denn auf [mm]e^4[/mm]
>
> Also bis jetzt wars immer so richtig... Kannst du mir das
> bitte sagen wie du auf [mm]e^4[/mm] kamst...
>
> Gruß yuppi
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
> >
> > [mm]=(1+\bruch{0,5}{(0,5n+1)})^4^n^-^5[/mm]
Bitte erkläre es mir von diesem Ausgang. Ich checks nicht mit dem anderen Weg. Wirklich mein Kopf dampft gerade. Zeig mir bitte von diesem Ausgang die Anpassung. Wäre dir sehr dankbar...
Bitte so ausführlich wie möglich damit es heute noch verstehe...
Besten Dank. Hoffe bereit euch keine Kopfschmerzen zu....
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> > >
> > > [mm]=(1+\bruch{0,5}{(0,5n+1)})^4^n^-^5[/mm]
>
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> Bitte erkläre es mir von diesem Ausgang. Ich checks nicht
> mit dem anderen Weg. Wirklich mein Kopf dampft gerade. Zeig
> mir bitte von diesem Ausgang die Anpassung. Wäre dir sehr
> dankbar...
>
> Bitte so ausführlich wie möglich damit es heute noch
> verstehe...
>
> Besten Dank. Hoffe bereit euch keine Kopfschmerzen zu....
versuchs mal hiermit:
https://matheraum.de/read?i=741502
alles hier vorzukauen bringt ja auch nix
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Danke, aber so wirds nichts mehr. Das ist ja total unübersichtlich.
Ich hab es nochmal gerechnet aber diesmal auf Blatt. Ich bin fix und fertig mit dem tippen. Entschuldige dies bitte dieses mal
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nach meinem Verständnis wäre der Grenzwert nun [mm] e^\bruch{1}{3}+1
[/mm]
Gruß yuppi.Ich muss wirklich noch andere Themen machen. Erklär mir das nur ausführlich dann hab ich es hinter mir. Montag is schon die Klausur.
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:42 Do 17.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Ich hoffe ich stehe heute auf und sehe eine ausführliche Erklärung damit mein Tag schon gut beginnt...
Ansonst gute Nacht wünsche ich noch...
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> Danke, aber so wirds nichts mehr. Das ist ja total
> unübersichtlich.
>
> Ich hab es nochmal gerechnet aber diesmal auf Blatt. Ich
> bin fix und fertig mit dem tippen. Entschuldige dies bitte
> dieses mal
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Nach meinem Verständnis wäre der Grenzwert nun
> [mm]e^\bruch{1}{3}+1[/mm]
Hallo,
tja, und da täuschst Du Dich eben gewaltig.
Welcher Satz Deiner Vorlesung führt Dich denn zu diesem Verständnis?
Wie lautet Deine Argumentation?
Es ist der Grenzwert von [mm] (1+\bruch{\bruch{1}{3}}{n})^n+1=e^{\bruch{1}{3}}+1.
[/mm]
Der von Dir genannte nicht.
> Gruß yuppi.Ich muss wirklich noch andere Themen machen.
Oh. Entschuldige bitte, daß wir Dich hier mit Nichtigkeiten aufhalten.
> Erklär mir das nur ausführlich dann hab ich es hinter
> mir.
Ömmm - nur mal so, fencheltee hat es Dir bereits ausführlich erklärt, und ich könnte mir gut vorstellen, daß auch er noch anderes zu tun hat, als immer wieder das Gleiche zu schreiben.
Du weißt aus der Vorlesung
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n\to [/mm] e,
[mm] (1+\bruch{k}{n})^n\to e^k,
[/mm]
und daß
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{kn}\to e^k, [/mm] dürfte auch kein geheimnis sein.
Diese Dinge sind zu verwenden, und nicht irgendwelche selbstgebackenen Regeln.
> Montag is schon die Klausur.
Deshalb verstehe ich überhaupt nicht, weshalb Du hier so rumeierst, statt mal fencheltees Weg in Ruhe nachzuvollziehen.
Naja, unsereins hat ja nix Wichtiges zu tun:
Mit m:=n-3 ist
[mm] (1-\bruch{1}{n-3})^{n}+1=(1-\bruch{1}{m})^{m+3}+1
[/mm]
[mm] =(1-\bruch{1}{m})^{m}*(1-\bruch{1}{m})^3+1
[/mm]
[mm] =(1+\bruch{-1}{m})^{m}*(1-\bruch{1}{m})^3+1
[/mm]
[mm] \to e^{-1}*1^3+1=e^{-1}+1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
> > = [mm](\bruch{n(1+\bruch{3}{n}}{n(1+\bruch{2}{n}})^4^n^-^5[/mm]
>
>
> Also
>
> [mm]=(1+\bruch{1}{n+2})^4^n^-^5[/mm]
>
> [mm]=(1+\bruch{1}{2(0,5n+1)})^4^n^-^5[/mm]
>
> [mm]=(1+\bruch{0,5}{(0,5n+1)})^4^n^-^5[/mm]
>
> Und somit konvergiert es gegen [mm]e^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Also aus dem Nenner, den größten Summanden noch
> rauskürzen ist Pflicht um auf den richtigen Grenzwert zu
> kommen. Also ich meine 2 ...
>
Aber ich hätte es doch genau so gut umformen können, das ich im Zähler -0,5 habe. Dann wäre ja der Grenzwert aufeinmal [mm] e^\bruch{-1}{2}
[/mm]
Das ist doch ein Widerspruch. Bitte um Erklärung. Denn das macht nicht wirklich Sinn.
Und vielen Dank fencheltee für die andere Methode. die sieht aber bissien komplizierter aus ^^ ist das dein lieblingsweg ?
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> Aber ich hätte es doch genau so gut umformen können, das
> ich im Zähler -0,5 habe. Dann wäre ja der Grenzwert
> aufeinmal [mm]e^\bruch{-1}{2}[/mm]
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> Das ist doch ein Widerspruch. Bitte um Erklärung. Denn das
> macht nicht wirklich Sinn.
der grenzwert ist [mm] e^4. [/mm] wie du auf die anderen kommst, ist mir schleierhaft
>
> Und vielen Dank fencheltee für die andere Methode. die
> sieht aber bissien komplizierter aus ^^ ist das dein
> lieblingsweg ?
wie du im letzten schritt siehst, tun sich beide wege nicht viel.. ob da nun n+2 oder z steht sollte letzendlich nicht viel ausmachen.
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gruß tee
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