Folge Konvergent/Divergent? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm](x_n)[/mm] die durch:
[mm]x_1[/mm]=1,
[mm]x_{n+1} = x_n + \bruch{1}{n}[/mm].
definierte Folge. Man untersuche, ob diese Folge konvergiert oder divergiert.
Hinweis:
[mm]\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}\ge1+\bruch{n}{2}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal!
Die Folge scheint konvergent zu sein, da die Abstände zwischen den x-Werten immer kleiner werden. Nun muss das Ganze nurnoch bewiesen werden. Im Tutorium hatten wir eine ähnliche Aufgabe mit der Fibonacci-Folge mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen. Zu dieser Aufgabe finde ich einfach keinen Ansatz.
Schon mal danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rainer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Diese Folge divergiert, auch wenn die Abstände der Folgenglieder untereinander immer kleiner werden.
Darauf deutet doch schon der Hinweis [mm] $\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] 1+\bruch{n}{2}$ [/mm] hin.
Denn Die Folge lässt sich explizit wie folgt darstellen:
[mm] $x_n [/mm] \ := \ [mm] x_1+\summe_{k=1}^{n-1}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] 1+\summe_{k=1}^{n-1}\bruch{1}{k}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ja...vielen Dank!
Das mit dem Hinweis hab ich eben nicht verstanden, weil ich der festen Überzeugung, dass das Ding Divergent ist.
Also, vielen Dank für deine Hilfe!!!
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Hallo nochmal!
Also, das mit der Summe leuchtet mir ja ein, aber mein Problem ist noch der Hinweis:
[mm]\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} \ \red{\ge} \ 1+\bruch{n}{2}[/mm]
Ich soll anscheinend argumentieren, dass die rechte seite gegen unendlich geht und somit auch die größere Summe bestimmt divergent ist.
Aber das kann ich doch nicht auf [mm] \ 1+\summe_{k=1}^{n-1}\bruch{1}{k}[/mm]
anwenden?!?!
Gruß Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tim!
Um den Hinweis nutzen zu können, betrachte doch einfach diese Folgenglied: [mm] $x_{2^n+1} [/mm] \ = \ ...$ .
Gruß
Loddar
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Jo...wäre ich nicht drauf gekommen.
Vielen Dank!!!
Oh man. Mein Matheverständnis ist wohl ein bisschen eingerostet :)
Gruß Tim
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