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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 So 02.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN\ge2} [/mm] sei gegeben durch
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(n³ - 2n]² - n^{6}}{n^{4} - 1} [/mm]
n [mm] \ge [/mm] 2.
Bestimme den Grenzwert a und finde zu gegebenen
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine natürliche Zahl [mm] N_{\varepsilon} [/mm] mit der Eigenschaft aus der Definition für die Konvergenz gegen einen Grenzwert. |
ich hab das jetzt auf [mm] \bruch{4n^{4} + 4n²}{n^{4} - 1}
[/mm]
umgeformt
aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter, wie "baue" ich da dem limes ein??
und den zweiten teil der aufgabe mit dem geg. epsilon usw. kapiere ich gar nicht
wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen, oder am besten erklären könnte
danke lg
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Deine Umformung stimmt nicht, rechne noch mal nach.
Im übrigen lässt sich ja der Nenner noch faktoriell zerlegen:
[mm] n^{4}-1=(n^{2}+1)(n^{2}-1)
[/mm]
Du kommst insgesamt dann zu einem viel leichter zu bearbeitenden Term und dem dann auch leicht zu sehenden Grenzwert -4. Den [mm] \varepsilon-Teil [/mm] der Aufgabe schaffst Du dann sicher auch ohne Mühe. Viel Erfolg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 02.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
$ [mm] \bruch{-4n^{4} + 4n²}{n^{4} - 1} [/mm] $
stimmt es jetzt??
aber ich hab immer noch das gleiche problem wie vorher!
ich weiß nicht wei ich da wieter kommen soll??
lg danke
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> [mm]\bruch{-4n^{4} + 4n²}{n^{4} - 1}[/mm]
>
> stimmt es jetzt??
Hallo & Ja!
Aber wie gesagt: Binomische Formeln und Ausklammern lautet das Zauberwort:
[mm]a_{n} = \bruch{-4n^{4} + 4n²}{n^{4} - 1} = \bruch{-4*n^{2}*\left(n^{2} - 1\right)}{(n^{2} - 1)*(n^{2}+1)} = ?[/mm]
Den Grenzwert bestimmst du im Übrigen mit
[mm] \lim_{n\to \infty}a_{n} [/mm] = a
wobei [mm] a_{n} [/mm] deine obige Folge ist. Wie du den Grenzwert bestimmst, weißt du sicher. Falls nicht: Klammere in Nenner und Zähler [mm] n^{2} [/mm] aus, kürze, und betrachte mit Grenzwertsätzen den verbleibenden Term.
Zur zweiten Teilaufgabe:
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \epsilon
[/mm]
lautet die Ungleichung, mit der du arbeiten musst. Du sollst zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein N finden, sodass die obige Ungleichung gilt. Was musst du also tun: Die obige Ungleichung nach n umstellen! Dann steht irgendwas der Form da:
n > [mm] ...\epsilon...
[/mm]
Dann hast du die Aufgabe erfüllt, nämlich zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein n gefunden, sodass die obige Ungleichung gilt. Nur noch zum Verständnis: Was du hier bestimmst, ist dann das Folgenglied, ab welchem alle Folgenglieder im [mm] \epsilon-Schlauch [/mm] um den Grenzwert a liegen 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 02.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich hab jetzt
[mm] \bruch{-4}{1+\bruch{1}{n²} }
[/mm]
kann ich jetzt einfach sagen n² geht gegen unedlich also geht 1/n² gegen 0 und das dann vernachlässigen und dann kommt minus 4 raus????
danke
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Hallo csak1162,
> ich hab jetzt
>
> [mm]\bruch{-4}{1+\bruch{1}{n²} }[/mm]
>
> kann ich jetzt einfach sagen n² geht gegen unedlich also
> geht 1/n² gegen 0 und das dann vernachlässigen und dann
> kommt minus 4 raus???? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das stimmt, aber da hast du ja die Grenzwertsätze benutzt.
Wenn ich das recht sehe, sollst du noch den [mm] $\varepsilon$-Beweis [/mm] führen.
Schreibe dir also mal in einer Nebenrechnung [mm] $|a_n-a|=\left|\bruch{-4n^{4} + 4n²}{n^{4} - 1}-(-4)\right|$ [/mm] hin und versuche, das nach oben abzuschätzen.
Dazu darfst du den Zähler vergrößern und den Nenner verkleinern ...
Fange so an:
Erweitere mal, fasse den Ausdruck im Betrag mal zusammen, dann klappt das schon, du brauchst eigentlich "nur" eine Abschätzung, wenn ich das so auf die Schnelle überblicke.
Damit kannst du dann dein [mm] $N_{\varepsilon}$ [/mm] konstruieren ...
>
> danke
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 02.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
das verstehe ich irgendwie nicht, muss ich das jetzt so rechnen oder ????
kA
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Hallo nochmal,
> das verstehe ich irgendwie nicht, muss ich das jetzt so
> rechnen oder ????
>
> kA
>
Das hast du doch irgendwie gemacht, oder?
Du hast doch unten in der Abschätzung das richtige [mm] $N_{\varepsilon}$ [/mm] konstruiert ...
Ich hatte das nur formal hingeschrieben ...
Dein Ergebnis unten ist richtig!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 02.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
was ist das a unten bei der zweiten aufgabe??
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Deine Umformung ist richtig gerechnet und so auch sehr geschickt (weil das [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] so schön "wegfällt"). Genau so kommst Du zu -4.
a ist, wie steppenhahn schon schrieb, [mm] \lim_{n\to \infty}a_{n} [/mm] = a = -4
Kannst Du die [mm] \varepsilon-Aufgabe [/mm] lösen? Mach mal einen Vorschlag. steppenhahn hat Dir da schon alles Nötige gesagt, denke ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 So 02.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich bekomme jetzt |n| > [mm] \wurzel{\bruch{4}{\varepsilon} -1}
[/mm]
stimmt das????
und was ist mit der antwort von schachuzipus, muss ich das jetzt anders rechnen????
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Hallo nochmal,
> ich bekomme jetzt |n| > [mm]\wurzel{\bruch{4}{\varepsilon} -1}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, sehr gut so!
>
> stimmt das????
Jo
>
> und was ist mit der antwort von schachuzipus, muss ich das
> jetzt anders rechnen????
Mea culpa, ich hatte nicht den ganzen thrad gelesen und nicht gesehen, dass dazu schon etwas geschrieben war.
Jetzt musst du's nur noch schön hinschreiben:
Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $N_{\varepsilon}>\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-1}$
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] $n\ge N_{\varepsilon}$ [/mm] ... die Abschätzungskette
LG
schachuzipus
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