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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Berechne [mm] $\summe_{i=1}^{n}=i^3$ [/mm] |
Guten Abend.
So einfach kann eine Aufgabe lauten, und trotzdem beiße ich mir die Zähne daran aus.
Ich erkenne einfach kein 'logisches' vorgehen, um nun eine Formel (mein TR vereinfacht es zu [mm] \br{n^2(n + 1)^2}{4}
[/mm]
Wie kommt man auf so etwas?
Ich meine, wenn ich einfach mal ausprobiere
[mm] $\summe_{i=1}^{1}=i^3=1^3$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{2}=i^3=1^3+2^3=9$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{3}=i^3=9+3^3=9+27=36$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{4}=i^3=36+64=100$
[/mm]
Ich erkenne da gar keinen Zusammenhang...
Wie berechne ich nun also: [mm] $\summe_{i=1}^{n}=i^3$?
[/mm]
Gruß
Johann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mi 01.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Phoney,
Du hast das Bildungsgesetz ja schon fast hingeschreiben.
es gilt für
n=1 [mm] \summe_{i=1}^{1}i^3=1=1^2 [/mm]
n=2 [mm] \summe_{i=1}^{2}i^3=9=3^2 [/mm] 3=1+2
n=3 [mm] \summe_{i=1}^{3}i^3=36=6^2 [/mm] 6=1+2+3
n=4 [mm] \summe_{i=1}^{4}i^3=100=10^2 [/mm] 10=1+2+3+4
also für
n=N [mm] \summe_{i=1}^{N}i^3=(1+2+3+4+ [/mm] ... + [mm] N)^2=(\br{N(N+1)}{2})^2=\br{N^2(N+1)^2}{4}
[/mm]
mfg ullim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 01.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Phoney
Es gibt eine allgemeine Methode, wie man solche Summen berechnet. Man muss den Sumanden in der Form bringen:
[mm]
\summe_{i=f}^{n}a_{i}=\summe_{i=f}^{n}(b_{i+1}-b_{i})
=b_{f+1}-b_{f}+b_{f+2}-b_{f+1}+b_{f+3}-b_{f+2}
+\cdots +b_{n-1}-b_{n-2}+b_{n}-b_{n-1}+b_{n+1}-b_{n}
=b_{n+1}-b_{f}
[/mm]
Also, man muss [mm]a_{i}[/mm] splitten in der Form [mm]a_{i}=b_{i+1}-b_{i}[/mm]
Also, wir suchen [mm]b_{i}[/mm] in der Form
[mm]
b_{i}=ai^{4}+bi^{3}+ci^{2}+di+e
[/mm]
Wir müssen [mm]a,b,c,d,e[/mm] bestimmen. Wir haben die Bedingung:
[mm]
i^{3}=\left( a(i+1)^{4}+b(i+1)^{3}+c(i+1)^{2}+d(i+1)+e\right) -
\left( ai^4+bi^3+ci^2+di+e\right)
[/mm]
Nach Umformung und Gleichsetzung der Koeffizienten erhalten wir:
[mm]a=1/4,\quad b=-1/2,\quad c=1/4,\quad d=e=0[/mm]
Also:
[mm]\summe_{i=1}^{n}i^3=\summe_{i=1}^{n}\left[ \left(
\bruch{1}{4}(i+1)^4-\bruch{1}{2}(i+1)^3+\bruch{1}{4}(i+1)^2\right)
-\left(
\bruch{1}{4}i^4-\bruch{1}{2}i^3+\bruch{1}{4}i^2\right) \right]
[/mm]
Und jetzt, substituierst in den teil mit (i+1) i durch n, und in den teil mit i, i durch 1.
[mm]\summe_{i=1}^{n}i^3=
\bruch{1}{4}(n+1)^4-\bruch{1}{2}(n+1)^3+\bruch{1}{4}(n+1)^2
-\left( \bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}\right)
=\bruch{1}{4}(n+1)^2\left( (n+1)^2-2(n+1)+1\right)
=
\bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
Versuche es nachzuvollziehen! Wenn du etwas nicht verstanden hast, frage weiter.
Gruss galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin Moin und ein ganz herzlichen Hallo, galileo.
> Versuche es nachzuvollziehen! Wenn du etwas nicht
> verstanden hast, frage weiter.
Nur gut, dass du das schreibst. Ansonsten hätte ich mich wahrscheinlich gar nicht noch einmal getraut, noch einmal nachzufragen, nach einer so super tollen Antwort. Vielen vielen Dank dafür!!
> Es gibt eine allgemeine Methode, wie man solche Summen
> berechnet. Man muss den Sumanden in der Form bringen:
Sehr sehr sehr schön. Nachdem ich die Mitteilung von ullim gelesen habe, die übrigens auch sehr gut ist, habe ich mich gefragt, ob ich dafür einfach nur ein gutes Auge brauche oder mir die Erfahrung es bringt, zu sehen, wie man auf die Vereinfachung kommt.
Normalerweise frustet mich diese Summenberechnung immer. Aber die Präsentation dieser Formel bringt mir ein Gefühl voller Freude!
> [mm]
\summe_{i=f}^{n}a_{i}=\summe_{i=f}^{n}(b_{i+1}-b_{i})
=b_{f+1}-b_{f}+b_{f+2}-b_{f+1}+b_{f+3}-b_{f+2}
+\cdots +b_{n-1}-b_{n-2}+b_{n}-b_{n-1}+b_{n+1}-b_{n}
=b_{n+1}-b_{f}
[/mm]
>
> Also, man muss [mm]a_{i}[/mm] splitten in der Form
> [mm]a_{i}=b_{i+1}-b_{i}[/mm]
Das ist definitionsgemäß?
> Also, wir suchen [mm]b_{i}[/mm] in der Form
> [mm]
b_{i}=ai^{4}+bi^{3}+ci^{2}+di+e
[/mm]
Wie komme ich denn jetzt darauf, dass wir die Unbekannten a,b,c,d,e haben bzw. dass der höchste Exponent die vier ist? (Das hängt ja zusammen)
> Wir müssen [mm]a,b,c,d,e[/mm] bestimmen. Wir haben die Bedingung:
>
> [mm]
i^{3}=\left( a(i+1)^{4}+b(i+1)^{3}+c(i+1)^{2}+d(i+1)+e\right) -
\left( ai^4+bi^3+ci^2+di+e\right)
[/mm]
>
> Nach Umformung und Gleichsetzung der Koeffizienten erhalten
> wir:
>
> [mm]a=1/4,\quad b=-1/2,\quad c=1/4,\quad d=e=0[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^3=\summe_{i=1}^{n}\left[ \left(
\bruch{1}{4}(i+1)^4-\bruch{1}{2}(i+1)^3+\bruch{1}{4}(i+1)^2\right)
-\left(
\bruch{1}{4}i^4-\bruch{1}{2}i^3+\bruch{1}{4}i^2\right) \right]
[/mm]
Bis hierhin wieder alles völlig logisch!
> Und jetzt, substituierst in den teil mit (i+1) i durch n,
> und in den teil mit i, i durch 1.
Das merke ich mir mal so.
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^3=
\bruch{1}{4}(n+1)^4-\bruch{1}{2}(n+1)^3+\bruch{1}{4}(n+1)^2
-\left( \bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}\right)
=\bruch{1}{4}(n+1)^2\left( (n+1)^2-2(n+1)+1\right)
=
\bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
Ja, alles sonst logisch.
Hat die Methode eigentlich auch einen Namen?
Recht herzlichen Dank. Auch mit der vorherigen Erklärung kann ich schon viel anfangen!
Viele Grüße,
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 01.11.2006 | | Autor: | galileo |
Danke, Phoney, für dein Feedback, habe mich sehr gefreut.
Bei einem Polinom n-ten Grades ist die Differenz vom Grad (n-1). Da wir [mm] i^3 [/mm] haben, ist n-1=3, also n=4.
Die Methode hat meines Wissens keinen Namen.
Lass uns den Spass an Mathe voll genießen!
Gruss galileo
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hier
Hab' einfach in google "Summe von Kubikzahlen" eingegeben. Nun hast du immerhin schon eine Formel und musst sie nur noch beweisen. Das dürfte mit vollständiger Induktion gehen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
