Folge- 2 Punkte - Strecke -Bsp < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 So 19.11.2006 | | Autor: | levrone |
| Aufgabe | Gegeben seien 2 Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2. [/mm] Der Punkt [mm] P_n+1 [/mm] telt stets die Strecke [mm] \overline{P_n-1 P_n}im [/mm] verhältnis 1:4, d.h.
[mm] \bruch{\overline{P_n-1 P_n+1}}{\overline{P_n+1 P_n}}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Welcher Grenzlage nähert sich [mm] P_n [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] |
guten abend!
ich seh aus diesem bsp nicht heraus wie ich was rechnen könnte...?
wie kann ich aus diser angabe etwas nützliches draus machen?
bitte um eure hilfe
danke
lg
levrone
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Diese [mm]+1[/mm] und [mm]-1[/mm] gehören wohl in den Index.
Ich kann dir einmal das Ergebnis verraten. Wenn man Punkte mit ihren Ortsvektoren identifiziert, so lautet die Rekursionsbeziehung
[mm]P_{n+1} = \frac{4}{5} \, P_{n-1} + \frac{1}{5} \, P_n[/mm]
Mit [mm]P_1 = A[/mm] und [mm]P_2 = B[/mm] folgt hieraus:
(*) [mm]P_n = \lambda_n A + \left( 1 - \lambda_n \right) B[/mm] mit [mm]\lambda_n = \frac{4}{9} \left( 1 + (-1)^{n-1} \left( \frac{4}{5} \right)^{n-2} \right)[/mm] für [mm]n \geq 1[/mm]
Und wenn du jetzt wissen willst, wie ich darauf gekommen bin: Zunächst sieht man relativ schnell, daß für die [mm]\lambda_n[/mm] eine analoge Rekursionbeziehung gilt:
[mm]\lambda_1 = 1 \, , \ \ \lambda_2 = 0 \, , \ \ \lambda_{n+1} = \frac{4}{5} \, \lambda_{n-1} + \frac{1}{5} \, \lambda_n[/mm] für [mm]n \geq 2[/mm]
Und solche eine Darstellung kann man mit Standardmethoden (ich habe formale Potenzreihen verwendet) in eine explizite Darstellung überführen. Das war ziemlich aufwendig, und ich vermute, daß das irgendwie schneller geht. Vielleicht findest du ja selbst den Kniff.
Wie auch immer: Nachdem nun das Ergebnis bekannt ist, kannst Du (*) auch mit Induktion beweisen. Und was für [mm]n \to \infty[/mm] passiert, kann man daran unmittelbar ablesen.
|
|
|
|
