Flussintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Di 07.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo Matheraum...
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe...
Berechnen Sie einmal mit und einmal ohne Ausnutzung des Satzes von Gauß
den Fluss des Vektorfeldes [mm] \vec{v} [/mm] durch die Fläche S, wobei [mm] S=\{\ (x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2+z^2=4\}\
[/mm]
[mm] \vec{v}:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \to \vektor{y \\ z \\ x}
[/mm]
Ich berechne nun zunächst nach Gauss:
[mm] \integral \integral_{\partial S} \vec{v} \vec{dO}=\integral \integral \integral_S [/mm] div [mm] \vec{v} [/mm] dxdydz
Es ist div [mm] \vec{v}=3
[/mm]
Es gilt somit [mm] \integral \integral_{\partial S} \vec{v} \vec{dO}=\integral \integral \integral_S [/mm] div [mm] \vec{v} dxdydz=\integral \integral \integral_S [/mm] 3 dxdydz
und mit Hilfe der Koordinatentransformation in Kugelkoordinaten ergibt sich:
[mm] \integral \integral \integral_S [/mm] 3 [mm] dxdydz=\integral_0^{\pi} \integral_0^{2\pi} \integral_0^2 3r^2 sin\theta drd\varphi d\theta [/mm] = [mm] \integral_0^\pi \integral_0^{2\pi} sin\theta |r^3|_0^{2} d\varphi d\theta [/mm] = [mm] \integral_0^\pi \integral_0^{2\pi} sin\theta [/mm] 8 [mm] d\varphi d\theta [/mm] = [mm] \integral_0^{\pi} [/mm] 8 [mm] sin\theta |\varphi|_0^{2\pi} d\theta [/mm] = [mm] \integral_0^{\pi} 16\pi sin\theta d\theta [/mm] = [mm] 16\pi |-cos\theta|_0^{\pi} [/mm] = [mm] 32\pi
[/mm]
Ich berechne nun ohne Gauss...
Es gilt dann:
[mm] \integral \integral_{\partial S} \vec{v} \vec{dO}= \integral \integral_S \left\langle \vec{v}(\phi(\theta,\varphi)),\bruch{\partial \phi}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \phi}{\partial \varphi} \right\rangle d\theta d\varphi
[/mm]
nun zu meiner Frage:
Wenn ich nun in Kugelkoordinaten parametrisiere, dann erhalte ich am Ende ein Integral, dass ziemlich übel aussieht.
Ich wähle [mm] \phi(\theta,\varphi)=\vektor{rsin\theta cos\varphi \\ rsin\theta sin\varphi \\ rcos\theta}
[/mm]
Und es ergibt sich für [mm] \bruch{\partial \phi}{\partial \theta} \times \bruch{\partial \phi}{\partial \varphi}=\vektor{rcos\theta cos\varphi \\ rcos\theta sin\varphi \\ -rsin\theta} \times \vektor{-rsin\theta sin\varphi \\ r sin\theta cos\varphi \\ 0}=\vektor{r^2 sin^2\theta cos\varphi \\ r^2 sin^2 \theta sin\varphi \\ r^2 cos\theta sin\theta}
[/mm]
Und es gilt: [mm] \vec{v}(\phi(\theta,\varphi))=\vektor{rsin\theta sin\varphi \\ r cos\theta \\ rsin\theta cos\varphi}
[/mm]
[mm] \integral \integral_S \left\langle \vektor{rsin\theta sin\varphi \\ r cos\theta \\ rsin\theta cos\varphi} , \vektor{r^2 sin^2\theta cos\varphi \\ r^2 sin^2 \theta sin\varphi \\ r^2 cos\theta sin\theta} \right\rangle d\theta d\varphi
[/mm]
Und hieraus ergibt sich ein Integral das ziemlich kompliziert wird.
Mache ich nun etwas bei der parametrisierung falsch oder gibt es irgendeinen Trick , womit ich das Integral einfacher lösen kann ???
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 07.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf div(y,z,x)=3?
vielleicht hilft schon das?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Di 07.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke...
Ich sehe gerade ich wahr leicht unkonzentriert. Ist gilt natürlich div [mm] \vec{v} [/mm] = 0.
Und somit dürfte das Integral 0 sein oder ?
Physikalisch bedeutet das dann, dass nichts durch die Menge hindurchfließt, sondern daran vorbei.
Für Gauß hilft mir dieser Tipp weiter (danke) aber wie sieht es bei der Berechnung ohne Gauß aus ?
Ist die parametrisierung so richtig???
MfG thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mi 08.02.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo und danke...
>
> Ich sehe gerade ich wahr leicht unkonzentriert. Ist gilt
> natürlich div [mm]\vec{v}[/mm] = 0.
genau.
>
> Und somit dürfte das Integral 0 sein oder ?
Ja.
>
> Physikalisch bedeutet das dann, dass nichts durch die Menge
> hindurchfließt, sondern daran vorbei.
>
> Für Gauß hilft mir dieser Tipp weiter (danke) aber wie
> sieht es bei der Berechnung ohne Gauß aus ?
Berechne doch mal das Skalarprodukt, ich bin sicher, dass sich das Integral dann vereinfachen wird.
>
> Ist die parametrisierung so richtig???
Ja, die ist richtig (sofern Du den richtigen Definitionsbereich und den richtigen Wert für r wählst).
>
> MfG thadod
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke vielmals...
Also das Integral lautet dann wie folgt:
[mm] \integral_0^{2\pi} \integral_0^{\pi} r^3 sin^3\theta sin\varphi cos\varphi [/mm] + [mm] r^3 cos\theta sin^2\theta sin\varphi [/mm] + [mm] r^3 sin^2\theta cos\theta cos\varphi d\theta d\varphi
[/mm]
[mm] r^3 \integral_0^{2\pi} \integral_0^{\pi} sin^2\theta (sin\theta sin\varphi cos\varphi [/mm] + [mm] cos\theta sin\varphi [/mm] + [mm] cos\theta cos\varphi) d\theta d\varphi
[/mm]
Aber so richtig weiter hilft mir das leider noch immer nicht...
Was ich aber nun noch gefunden habe ist folgendes:
Ich betrachte mein Skalarprodukt:
[mm] \integral_0^{2\pi} \integral_0^\pi \left\langle \vektor{rsin\theta sin\varphi \\ r cos\theta \\ rsin\theta cos\varphi} , \vektor{r^2 sin^2\theta cos\varphi \\ r^2 sin^2 \theta sin\varphi \\ r^2 cos\theta sin\theta} \right\rangle d\theta d\varphi
[/mm]
Ich lass die Integration über [mm] d\theta [/mm] jetzt einfach mal außen vor und betrachte nur die Integration über [mm] d\varphi.
[/mm]
Was ich ellgemein weiß ist doch folgendes:
[mm] \integral_0^{2\pi} sin^n(\varphi) d\varphi=0 [/mm] für n ungerade
[mm] \integral_0^{2\pi} cos^n(\varphi) d\varphi=0 [/mm] für n ungerade
Somit könnte ich doch eigentlich begründen, dass auch das Flussintegral nach dem Satz von Gauss zu Null wird oder ???
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mi 08.02.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo und danke vielmals...
>
> Also das Integral lautet dann wie folgt:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^{\pi} r^3 sin^3\theta sin\varphi cos\varphi[/mm]
> + [mm]r^3 cos\theta sin^2\theta sin\varphi[/mm] + [mm]r^3 sin^2\theta cos\theta cos\varphi d\theta d\varphi[/mm]
>
> [mm]r^3 \integral_0^{2\pi} \integral_0^{\pi} sin^2\theta (sin\theta sin\varphi cos\varphi[/mm]
> + [mm]cos\theta sin\varphi[/mm] + [mm]cos\theta cos\varphi) d\theta d\varphi[/mm]
>
> Aber so richtig weiter hilft mir das leider noch immer
> nicht...
>
> Was ich aber nun noch gefunden habe ist folgendes:
>
> Ich betrachte mein Skalarprodukt:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^\pi \left\langle \vektor{rsin\theta sin\varphi \\ r cos\theta \\ rsin\theta cos\varphi} , \vektor{r^2 sin^2\theta cos\varphi \\ r^2 sin^2 \theta sin\varphi \\ r^2 cos\theta sin\theta} \right\rangle d\theta d\varphi[/mm]
>
> Ich lass die Integration über [mm]d\theta[/mm] jetzt einfach mal
> außen vor und betrachte nur die Integration über
> [mm]d\varphi.[/mm]
>
> Was ich ellgemein weiß ist doch folgendes:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} sin^n(\varphi) d\varphi=0[/mm] für n
> ungerade
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} cos^n(\varphi) d\varphi=0[/mm] für n
> ungerade
Genau, damit kannst Du den zweiten und den dritten Summanden im Integrand 'erledigen'. Der erste Summand ist aber ein Produkt aus [mm] $\sin\varphi\cos\varphi$, [/mm] das musst Du noch berechnen.
>
> Somit könnte ich doch eigentlich begründen, dass auch das
> Flussintegral nach dem Satz von Gauss zu Null wird oder
> ???
Dass es nach Gauß =0 wird haben wir ja schon gezeigt. Jetzt musst Du zeigen, dass es auch ohne Satz von Gauß =0 wird (also durch explizites Berechnen).
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 08.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo notinx und danke für die Hilfe...
> Genau, damit kannst Du den zweiten und den dritten
> Summanden im Integrand 'erledigen'. Der erste Summand ist
> aber ein Produkt aus [mm]\sin\varphi\cos\varphi[/mm], das musst Du
> noch berechnen.
Es gilt dann:
[mm] \integral_0^{2\pi} \integral_0^{\pi} r^3 sin^3\theta sin\varphi cos\varphi d\theta d\varphi
[/mm]
= [mm] r^3 \integral_0^{2\pi} sin\varphi cos\varphi d\varphi \integral_0^{\pi} sin^3\theta d\theta [/mm] = [mm] r^3 \integral_0^{2\pi} sin\varphi cos\varphi d\varphi \integral_0^{\pi} sin^2\theta \cdot sin\theta d\theta [/mm] = [mm] r^3 \integral_0^{2\pi} sin\varphi cos\varphi d\varphi \cdot |\bruch{1}{3}(cos^3\theta-3cos\theta)|_0^{\pi} =\bruch{4}{3} \cdot r^3 \cdot |-\bruch{1}{2} \cdot cos^2\varphi|_0^{2\pi}=0
[/mm]
Aber widerspricht sich das nicht ein wenig???
Ich hatte doch oben geschrieben, dass [mm] \integral_0^{2\pi} cos^n\varphi d\varphi= [/mm] 0 für n ungerade... Hier ist doch aber n gerade!!!
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 08.02.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinx und danke für die Hilfe...
>
> > Genau, damit kannst Du den zweiten und den dritten
> > Summanden im Integrand 'erledigen'. Der erste Summand ist
> > aber ein Produkt aus [mm]\sin\varphi\cos\varphi[/mm], das musst Du
> > noch berechnen.
>
> Es gilt dann:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^{\pi} r^3 sin^3\theta sin\varphi cos\varphi d\theta d\varphi[/mm]
>
> = [mm]r^3 \integral_0^{2\pi} sin\varphi cos\varphi d\varphi \integral_0^{\pi} sin^3\theta d\theta[/mm]
> = [mm]r^3 \integral_0^{2\pi} sin\varphi cos\varphi d\varphi \integral_0^{\pi} sin^2\theta \cdot sin\theta d\theta[/mm]
> = [mm]r^3 \integral_0^{2\pi} sin\varphi cos\varphi d\varphi \cdot |\bruch{1}{3}(cos^3\theta-3cos\theta)|_0^{\pi} =\bruch{4}{3} \cdot r^3 \cdot |-\bruch{1}{2} \cdot cos^2\varphi|_0^{2\pi}=0[/mm]
Das [mm] $\theta$ [/mm] Integral hättest Du Dir sparen können, wenn Du zuerst nach [mm] $\varphi$ [/mm] integriertt hättest.
>
> Aber widerspricht sich das nicht ein wenig???
>
> Ich hatte doch oben geschrieben, dass [mm]\integral_0^{2\pi} cos^n\varphi d\varphi=[/mm]
> 0 für n ungerade... Hier ist doch aber n gerade!!!
Diese Gleichung gilt für [mm] $\cos^n\varphi$, [/mm] Du hast aber was anderes integiert, nämlich: [mm] $\sin\varphi\cos\varphi$
[/mm]
Das ist kein Widersprich, weil der Integrand ein ganz anderer ist.
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mi 08.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Physikalisch zeigt das NICHZ, daßß nichts durchfließt, sondern, dass im inneren keine "Wuelle" ist, d.h. es fliesst so viel rein wie raus, wrwa wie in einem Fluss , in den du einen Kasten mit Siebwänden stellst, was hinten reingeht, kommt vorne wiedder raus, bei deinem oberflächenintegral, zu jedem dA qo nda>0 gibt es auf dder Kugel an ner anderen Stelle ein gleichgrosses ndA mit entgegengesetzrem Vorzeichen.
Gruss leduart
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