Fluss zeichnen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 28.11.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Gegeben ist die Dgl. y'=Ay und A [mm] \in R^{2x2} [/mm] vorgegeben, zb. A Einheitsmatrix. Ich soll nun für die jeweiligen A den Fluss zeichnen. Wie gehe ich da vor? Soll ich zuerst die Dgl lösen (mit Hilfe der exp-Funktion?) oder kann man den Fluss schon an der Matrix ablesen? Was muss ich an der x- bzw y-Achse auftragen?
Wir haben Fluss so definiert: Sei y'=Ay lineare Dgl, mit [mm] y(t_0)=y^0. [/mm] Der Fluss ist definiert als [mm] \phi: \mathbb [/mm] R x X [mm] \to [/mm] X, [mm] (t,y^0) \mapsto [/mm] y(t). X [mm] \subseteq \mathbb R^n
[/mm]
In dem Fall A ist 2x2 Matrix ginge die Abbildung ja von [mm] \mathbb R^3 [/mm] nach [mm] R^2. [/mm] Wie zeichnet man das?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
moerni
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Hi,
> Hallo.
> Gegeben ist die Dgl. y'=Ay und A [mm]\in R^{2x2}[/mm] vorgegeben,
> zb. A Einheitsmatrix. Ich soll nun für die jeweiligen A
> den Fluss zeichnen. Wie gehe ich da vor? Soll ich zuerst
> die Dgl lösen (mit Hilfe der exp-Funktion?) oder kann man
> den Fluss schon an der Matrix ablesen? Was muss ich an der
> x- bzw y-Achse auftragen?
> Wir haben Fluss so definiert: Sei y'=Ay lineare Dgl, mit
> [mm]y(t_0)=y^0.[/mm] Der Fluss ist definiert als [mm]\phi: \mathbb[/mm] R x X
> [mm]\to[/mm] X, [mm](t,y^0) \mapsto[/mm] y(t). X [mm]\subseteq \mathbb R^n[/mm]
> In
> dem Fall A ist 2x2 Matrix ginge die Abbildung ja von
> [mm]\mathbb R^3[/mm] nach [mm]R^2.[/mm] Wie zeichnet man das?
> Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
> moerni
es gibt (mindestens) zwei wege, den fluss zu zeichnen: 1.) die dgl loesen, dann die lsgen. zeichnen 2.)ich vermute, ihr sollt den fluss vom richtungsfeld ableiten. das heisst, fuer verschiedene [mm] $y\in R^2$ [/mm] die flussrichtung $y'=Ay$ bestimmen, als pfeil markieren und dann kurven zeichnen, die durch die pfeile laufen.
gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 29.11.2009 | | Autor: | moerni |
> es gibt (mindestens) zwei wege, den fluss zu zeichnen: 1.)
> die dgl loesen, dann die lsgen. zeichnen 2.)ich vermute,
> ihr sollt den fluss vom richtungsfeld ableiten. das heisst,
> fuer verschiedene [mm]y\in R^2[/mm] die flussrichtung [mm]y'=Ay[/mm]
> bestimmen, als pfeil markieren und dann kurven zeichnen,
> die durch die pfeile laufen.
>
> gruss
> Matthias
aha ok. danke erstmal. Aber wie gehe ich da jetzt praktisch vor? Ich nehme mir ein beliebiges y(t), zb. (1,0). Dann berechne ich y'(t) ok. Wie zeichne ich das in ein Schaubild? Was kommt auf die x-/y-Achse. Es handelt sich ja um Vektoren...
Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar. grüße, moerni
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> > es gibt (mindestens) zwei wege, den fluss zu zeichnen: 1.)
> > die dgl loesen, dann die lsgen. zeichnen 2.)ich vermute,
> > ihr sollt den fluss vom richtungsfeld ableiten. das heisst,
> > fuer verschiedene [mm]y\in R^2[/mm] die flussrichtung [mm]y'=Ay[/mm]
> > bestimmen, als pfeil markieren und dann kurven zeichnen,
> > die durch die pfeile laufen.
> >
> > gruss
> > Matthias
>
> aha ok. danke erstmal. Aber wie gehe ich da jetzt praktisch
> vor? Ich nehme mir ein beliebiges y(t), zb. (1,0). Dann
> berechne ich y'(t) ok. Wie zeichne ich das in ein
> Schaubild? Was kommt auf die x-/y-Achse. Es handelt sich ja
> um Vektoren...
naja, die abbildung [mm] $y\mapsto [/mm] y'$ geht von [mm] $R^2$ [/mm] nach [mm] $R^2$, [/mm] ist also ein vektorfeld. Dh. jedem punkt der reellen ebene (x/y koord.-system) ist ein vektor/pfeil zugeordnet. vielleicht ist es etwas weniger verwirrend fuer dich, wenn du die achsen y1/y2 statt x/y nennst...
gruss
Matthias
> Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar. grüße, moerni
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