Fluss und Divergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] U \subset \IR^n[/mm] ein [mm]C^1[/mm]-Vektorfeld.
Sei [mm]\Omega:= \{ (x,t) \in \IR^n \times \IR | t \in I(x) \} [/mm] (Hierbei ist I das maximale Existenzintervall)
und
[mm] \Phi : \Omega \to U , [/mm]
[mm](x,t) \mapsto \Phi(x,t) = \Phi_t(x)[/mm]
der Fluss von f.
Beweisen sie:
[mm]div(f)=0 \Rightarrow \forall(x,t) \in \Omega : det(d \Phi_t(x)) = 1[/mm] |
Grüße
Folgende Idee:
Beweis in zwei Schritten:
Schritt 1
[mm]\Phi_0(x) = x \Rightarrow d\Phi_0(x)= E_n \Rightarrow det(d\Phi_0(x))=1 \forall x \in \IR^n[/mm]
(Folgt aus der Definition des Flusses)
Schritt 2
[mm]\frac{d}{dt} det(d\Phi_t(x)) = 0 \forall t \in \IR , x \in \IR^n[/mm]
Hier fehlt mir jetzt etwas die Idee wie ich so ein Monster Ableite.
Ich weiß ja kaum etwas über f. Die Divergenz muss auch noch irgendwie mit rein, aber ich weiß nicht recht wie.
Für Tipps und Hinweise wäre ich dankbar
Phorkyas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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