Flächenzerlegung < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ein vorgegebenes Quadrat (wir könnten seine Seitenlänge
zum Beispiel mit a bezeichnen und allenfalls diesem a auch
noch einen geeigneten Zahlenwert zuordnen) soll in vier
zueinander kongruente gleichseitige Dreiecke, ein Quadrat
und vier zueinander kongruente, aber nicht gleichseitige
Dreiecke zerlegt werden.
a) Welche Zerlegungsmöglichkeiten gibt es ? (Antworten
am besten in zeichnerischer Form oder aber in Form
geometrisch präziser Beschreibungen)
b) In welchen Verhältnissen stehen die Flächeninhalte der
beteiligten Quadrate ? (exakte Resultate verlangt) |
Das soll eine Art Knobelaufgabe zum Jahreswechsel sein.
Sie ist einer kleinen geometrischen Spielerei entsprungen,
und es könnte gut sein, dass ich im Moment selber noch
nicht alle möglichen Lösungen kenne !
Viel Vergnügen und einen guten Ausklang dieses Jahres !
Al-Chwarizmi
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:08 Do 26.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
diese "Frage" bitte nicht beantworten oder inaktiv stellen - sie dient nur dazu, die Übungsaufgabe solange offen zu halten, bis der Ansturm abflaut. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 26.12.2013 | | Autor: | Ebri |
Hallo,
darf man auch als "nicht Schüler" Lösungsvorschläge vorstellen?
Weiterhin einen schönen zweiten Weihnachtsfeiertag.
Ebri
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Do 26.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> darf man auch als "nicht Schüler" Lösungsvorschläge
> vorstellen?
was spricht dagegen?
>
> Weiterhin einen schönen zweiten Weihnachtsfeiertag.
> Ebri
Marius
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> darf man auch als "nicht Schüler" Lösungsvorschläge
> vorstellen?
Ja, klar ! Warum denn auch nicht ...
> Weiterhin einen schönen zweiten Weihnachtsfeiertag.
> Ebri
Ebenfalls !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Do 26.12.2013 | | Autor: | Ebri |
Hallo,
hier mein Lösungsvorschlag.
a)
Eine mögliche Zerlegung ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
b)
Seitenlänge des inneren Quadrates: [mm] $\bruch{(\wurzel{3}-1)*a}{2}$
[/mm]
Verhältnis der Flächeninhalte der Quadrate: $1 : [mm] (1-\bruch{\wurzel{3}}{2})$ [/mm]
Gruß
Ebri
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> hier mein Lösungsvorschlag.
>
> a)
> Eine mögliche Zerlegung ist:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ja, das ist eine (hübsche) mögliche Lösung.
> b)
> Seitenlänge des inneren Quadrates:
> [mm]\bruch{(\wurzel{3}-1)*a}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Verhältnis der Flächeninhalte der Quadrate: [mm]1 : 1-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
Du meinst: [mm]1\ :\ \left(1-\bruch{\wurzel{3}}{2}\,\right)[/mm]
(die Klammern sind notwendig !)
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Ebri |
> > Verhältnis der Flächeninhalte der Quadrate: [mm]1 : 1-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
>
> Du meinst: [mm]1\ :\ \left(1-\bruch{\wurzel{3}}{2}\,\right)[/mm]
>
> (die Klammern sind notwendig !)
>
> LG , Al-Chw.
Ja, das meine ich. Es ist wohl sinnvoller es als Bruch zu schreiben. Also: [mm] $\bruch{1}{1-\bruch{\wurzel{3}}{2}}$
[/mm]
Danke
Ebri
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Ebri,
die "kanonische" Schreibweise geht davon aus, dass der Nenner rational ist und ein Bruch doppelbruchfrei.
Es ist [mm] \bruch{1}{1-\bruch{\wurzel{3}}{2}}=4+2\wurzel{3}=2(2+\wurzel{3})
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 26.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
naheliegend ist auch diese Variante:
Man setze auf ein Quadrat mit der Seitenlänge s auf jede Seite ein gleichseitiges Dreieck der gleichen Seitenlänge auf. Diese Figur passt nun in ein größeres Quadrat durch die freien Eckpunkte der Dreiecke, so dass die Rahmenbedingungen der Konstruktion erfüllt sind.
Die Diagonale des großen Quadrats ist offensichtlich [mm] (1+\wurzel{3})s, [/mm] mithin die Kantenlänge [mm] a=\bruch{1+\wurzel{3}}{\wurzel{2}}s.
[/mm]
Umgeformt: [mm] s=\bruch{\wurzel{2}(\wurzel{3}-1)}{2}a
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> naheliegend ist auch diese Variante:
>
> Man setze auf ein Quadrat mit der Seitenlänge s auf jede
> Seite ein gleichseitiges Dreieck der gleichen Seitenlänge
> auf. Diese Figur passt nun in ein größeres Quadrat durch
> die freien Eckpunkte der Dreiecke, so dass die
> Rahmenbedingungen der Konstruktion erfüllt sind.
> Die Diagonale des großen Quadrats ist offensichtlich
> [mm](1+\wurzel{3})s,[/mm] mithin die Kantenlänge
> [mm]a=\bruch{1+\wurzel{3}}{\wurzel{2}}s.[/mm]
>
> Umgeformt: [mm]s=\bruch{\wurzel{2}(\wurzel{3}-1)}{2}a[/mm]
Richtig.
Trotzdem: Aufgabe b nicht vollständig gelöst ...
(denn: gefragt war das Verhältnis der Flächeninhalte
der Quadrate ... ) 
Lieben Gruß
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Do 26.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
hier eine dritte Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn das innere Quadrat wieder die Seitenlänge s hat, dann ist a (die Seitenlänge des äußeren Quadrats) [mm] a=\left(1+\bruch{\wurzel{3}}{3}\right)s, [/mm] mithin
[mm] \bruch{a^2}{s^2}=\bruch{2}{3}(2+\wurzel{3})
[/mm]
lg
rev
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> hier eine dritte Lösung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wenn das innere Quadrat wieder die Seitenlänge s hat, dann
> ist a (die Seitenlänge des äußeren Quadrats)
> [mm]a=\left(1+\bruch{\wurzel{3}}{3}\right)s,[/mm] mithin
>
> [mm]\bruch{a^2}{s^2}=\bruch{2}{3}(2+\wurzel{3})[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> lg
> rev
Hallo reverend,
numerisch würde dies bedeuten, dass das äußere Quadrat
nur so ungefähr zweieinhalb mal so großen Flächeninhalt
wie das innere hätte. Schaut man sich die Zeichnung an,
merkt man, dass dies wohl kaum zutreffen kann ...
Gute Nacht !
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Guten Tag, Al.
Ich sollte mir vielleicht doch die Rechnerei beim Kochen ersparen. Sie führt nur zu Flüchtigkeitsfehlern beim einen und andern.
Sei x die Länge der Strecke von Dreiecksecke zu Quadratecke und s die Seitenlänge der gleichseitigen Dreiecke. Dann ist [mm] x=\bruch{1}{3}\wurzel{3}s.
[/mm]
Die Kantenlänge des großen Quadrats ist s+x, die des kleinen Quadrats ist s-x.
Das gesuchte Flächenverhältnis ist also
[mm] \left(\bruch{s+x}{s-x}\right)^2=\bruch{\left(1+\bruch{1}{3}\wurzel{3}\right)^2}{\left(1-\bruch{1}{3}\wurzel{3}\right)^2}=7+4\wurzel{3}
[/mm]
Das liegt nahe bei 14 und übersteht nicht nur die Plausibilitätsprüfung.
Übrigens scheinen die drei jetzt vorliegenden Lösungen alle zu sein, die vierzählig rotationssymmetrisch sind. Ob es darüber hinaus überhaupt noch andere geben kann, möchte ich bezweifeln. Leider kann ich zZ nichts davon zeigen. Bist Du schon soweit?
Herzliche Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Übrigens scheinen die drei jetzt vorliegenden Lösungen
> alle zu sein, die vierzählig rotationssymmetrisch sind. Ob
> es darüber hinaus überhaupt noch andere geben kann,
> möchte ich bezweifeln. Leider kann ich zZ nichts davon
> zeigen. Bist Du schon soweit?
Hallo reverend,
tatsächlich war für mich diese Lösung, die du
angegeben hast, neu. Ich war zwar sehr nahe
dran, hatte eine Zeichnung gemacht, die noch
nicht ganz passte.
Leider habe ich die Figur dann liegen lassen,
ohne sie nochmals etwas genauer zu betrachten.
Ich hatte aber trotzdem schon 3 Lösungen mit der
erwähnten Symmetrie. Mit anderen Worten: auch Dir
scheint noch eine der Lösungen entgangen zu sein ...
Wenn Du sie siehst, wirst Du Dir möglicherweise
vor den Kopf schlagen und denken "das hätte ich
wirklich auch sehen sollen !"
Ich gebe aber jetzt weder Figur noch Formeln an
und sage nur: das innere Quadrat ist bei dieser
Lösung größer als bei den bisher hier genannten
Lösungen ...
Natürlich habe ich auch die Möglichkeit nicht
drehsymmetrischer Lösungen erwogen, aber
jedenfalls keine gefunden. Etwas vorsichtig geworden,
werde ich aber deren Nichtexistenz erst dann
behaupten, wenn ich mich davon überzeugt habe.
Mir ist bei dieser ziemlich spielerischen Frage
wieder einmal aufgefallen, dass es uns offenbar
gar nicht so leicht fällt, uns auch in einer doch
relativ einfachen planimetrischen Situation eine
Übersicht über "alle möglichen Lösungen" zu
verschaffen.
Leider kann ich nicht einmal rekonstruieren, wie
ich an Weihnachten überhaupt auf diese Idee
gekommen bin: irgendwie war das wohl so
ähnlich wie mit der Jungfrau und dem Kind ...
Liebe Grüße ,
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Fr 27.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Al.
Hier erstmal noch eine Zerlegung, leider auch rotationssymmetrisch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Mittlere Quadrat habe die Fläche [mm] x^{2}
[/mm]
Eines der vier gleichschenkligen Dreiecke mit dem Basiswinkel 15° und der Schenkellänge x hat die Grundseite y.
Damit gilt:
[mm] $\cos(15)=\frac{\frac{y}{2}}{x} [/mm] und damit dann [mm] y=2\cdot x\cdot\cos(15)$
[/mm]
Das äußere Quadrat hat dann die Fläche
[mm] $A_{Q}=4\cdot(\cos(15))^{2}\cdot x^{2}$
[/mm]
Da [mm] \cos(15)=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) [/mm] gilt
[mm] $A_{Qu}=4\cdot\frac{1}{16}\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2} \cdot x^{2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\cdot(6+2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}+2)\cdot x^{2}$
[/mm]
[mm] $=2+\frac{\sqrt{12}}{2}\cdot x^{2}$
[/mm]
[mm] $=2+\sqrt{3}\cdot x^{2}$
[/mm]
Damit hast du das Verhältnis
[mm] \frac{A_{groß}}{A_{klein}}=\frac{2+\sqrt{3}}{1}
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
das ist die Zerlegung, die ich oben als "zweite Lösung" beschrieben habe. Flächenverhältnisse sind da auch geklärt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:45 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
guter Tipp mit dem größeren Quadrat. Diese Lösung hatte ich nur unvollkommen skizziert und daher dann verworfen.
Das innere Quadrat ist um 30° gegen das äußere verdreht und liegt mit seinen Eckpunkten auf den Seiten des äußeren. Die vier verbleibenden Dreiecke sind jeweils in ein gleichseitiges und ein gleichschenkliges zu zerlegen.
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn das innere Quadrat die Seitenlänge b hat, hat das äußere die Seitenlänge [mm] \tfrac{1}{2}(1+\wurzel{3})b, [/mm] die Dreiecke haben die Seitenlänge [mm] \tfrac{1}{2}b.
[/mm]
Das gesuchte Flächenverhältnis ist [mm] \left(\bruch{1}{2}(1+\wurzel{3})\right)^2=1+\bruch{1}{2}\wurzel{3}
[/mm]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
eins habe ich vergessen zu erwähnen:
"Schön" an dieser Lösung ist auch, dass die gleichseitigen und die gleichschenkligen Dreiecke flächengleich sind. Jedes davon hat den Flächeninhalt von [mm] \bruch{1}{16}\wurzel{3}\;b^2=\bruch{1}{8}(2\wurzel{3}-3)a^2.
[/mm]
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Eine interessante Variante der Aufgabe ist diese:
Man zerlege ein Quadrat in zwei (nicht notwendig gleich große) Quadrate, vier gleich große gleichseitige Dreiecke und vier weitere zueinander kongruente Dreiecke.
Man bestimme auch hier das exakte Verhältnis der Fläche des großen Quadrats zur Summe der beiden kleinen Quadratflächen. |
Ich gebe hierzu erst einmal keinen Tipp. Bisher habe ich hier nur eine Lösung gefunden, die gleich zwei erstaunliche Eigenschaften hat - eine, die sie von allen Lösungen der bisherigen Aufgabe unterscheidet, und eine, die sie mit einer der bisherigen Lösungen verbindet.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 29.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Fr 27.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
Meinst du so etwas?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn das kleine einbeschriebene Quadrat die Seitenlänge x haben soll, hat das große einbeschriebene die Seitenlänge [mm] x\cdot\sqrt{3}
[/mm]
Also bekommst du das Verhältnis
[mm] \frac{x^{2}+(x\cdot\sqrt{3})^{2}}{(x+x\cdot\sqrt{3})^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{4}{(1+\sqrt{3})^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{4}{4+2\sqrt{3}}
[/mm]
[mm] =\frac{2}{2+\sqrt{3}}
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
ja, genau.
Die erste Besonderheit ist offensichtlich: die Figur ist nicht rotationssymmetrisch, immerhin hat sie eine Spiegelachse.
Hast Du die zweite Besonderheit auch schon herausgefunden?
Bring mal Dein Flächenverhältnis in die kanonische Form.
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Fr 27.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
Hallo reverend
>
> ja, genau.
Schön
> Die erste Besonderheit ist offensichtlich: die Figur ist
> nicht rotationssymmetrisch, immerhin hat sie eine
> Spiegelachse.
Das ist offensichtlich, diese Figur kannst du nicht rotationssymmetrisch basteln, da die Winkelsumme in den Ecken nicht passen kann.
>
> Hast Du die zweite Besonderheit auch schon herausgefunden?
Ehrlich gesagt nein.
>
> Grüße
> rev
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> > Hast Du die zweite Besonderheit auch schon
> herausgefunden?
>
> Ehrlich gesagt nein.
Tipp steht in der Revision meiner letzten Mitteilung...
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Fr 27.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> > > Hast Du die zweite Besonderheit auch schon
> > herausgefunden?
> >
> > Ehrlich gesagt nein.
>
> Tipp steht in der Revision meiner letzten Mitteilung...
Ok
[mm] \frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}
[/mm]
Aber das hilft mir noch nicht so viel.
>
> rev
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Fr 27.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> Ok
> [mm]\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}[/mm]
>
> Aber das hilft mir noch nicht so viel.
Naja, der Nenner ist ja auch noch nicht rational.
Das ist hier aber auch nicht nötig, denn der gesuchte Zusammenhang wird sowieso eher deutlich, wenn man den Kehrwert betrachtet, also das Verhältnis der großen Fläche zur Summe der beiden kleinen.
Das ist nun offenbar [mm] 1+\bruch{1}{2}\wurzel{3}, [/mm] also genau das gleiche wie in der hier als "vierte" gezählten Lösung.
Und in der Tat kann man nur durch Verschiebung der Dreiecke innerhalb des großen Quadrats die beiden Figuren ineinander überführen.
Daraus folgt auch, dass die Flächensumme der beiden kleinen Quadrate in der veränderten Aufgabenstellung gerade die Fläche des einzelnen kleinen Quadrats in der "vierten" Lösung der ursprünglichen Aufgabe ergeben.
Die Seitenlängen der drei kleinen Quadrate stehen im Verhältnis [mm] 1:\wurzel{3}:2 [/mm] - und man findet in der o.g. Lösung der ursprünglichen Aufgabe die Seitenlängen der Quadrate aus der Lösung der veränderten Aufgabe gerade am Rand des großen Quadrats wieder.
So:
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
rev
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Sa 28.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
es gibt weitere vier Lösungen, von denen zwei je für sich spiegelbildlich sind (also eine eigene Spiegelachse haben) und zwei durch Spiegelung auseinander hervorgehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Interessant ist allerdings, dass auch diese Lösung das gleiche Flächenverhältnis hat wie die erste. Auch hier hat das größere Quadrat die [mm] $\wurzel{3}$-fache [/mm] Seitenlänge des kleineren.
Das gilt auch für die nächsten beiden Lösungen, die ich gleich einstelle. Grafik dauert immer ein bisschen...
lg
rev
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Sa 28.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo,
hier die nächsten vier Lösungen.
Keine ist irgendwie symmetrisch, trotzdem sind alle eng verwandt. Auch hier ist das Flächenverhältnis "wie gehabt".
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo alle !
Für eine Übersicht über die möglichen Lösungen
habe ich mal eine Figur erstellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich vermute, dass dies alle sind. Es würde mich
ziemlich überraschen, wenn es noch weitere
geben sollte, bei denen die gestellten Bedingungen
allesamt erfüllt sind.
Interessant ist noch, dass sich die Flächeninhalte
der inneren Quadrate von 3 der Lösungen sich
wie 1 : 2 : 4 verhalten. Die vierte Figur (rechts
unten) fügt sich nicht in diese geometrische
Folge.
Falls gewisse Abweichungen von der ursprüng-
lichen Idee zugelassen würden, könnte man natürlich
noch weitere "Lösungen" finden, wie zum Beispiel
diese:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei werden die 4 kleinen blauen Ecken vom
ursprünglichen Quadrat abgetrennt und zu
einem neuen kleinen Quadrat zusammengefügt.
Ein solches Zerlegen und Neuzusammensetzen
war jedoch nicht als zuläßige Methode gedacht.
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
