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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 01.06.2008 | | Autor: | k4m1 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Die Zielfunktion müsster so aussehen:
[mm] 2b+\pi \left( \frac{a}{2} \right)=^{!}\min [/mm]
Das geht meiner Meinung nach aus dem Text hervor
Als Nebenbedingung habe ich nur diese hier gefunden:
[mm] \left( a\cdot b \right)+\left( \frac{1}{2}\pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \right)=20m^{2}
[/mm]
was ja insofern ein Problem ist, als dass ich irgendwie jetzt keinen Ansatz finde :/
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: tiff) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [task][Dateianhang nicht öffentlich][/task]
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> Die Zielfunktion müsster so aussehen:
> [mm]2b+\pi \left( \frac{a}{2} \right)=^{!}\min[/mm]
> Das geht meiner Meinung nach aus dem Text hervor
>
> Als Nebenbedingung habe ich nur diese hier gefunden:
> [mm]\left( a\cdot b \right)+\left( \frac{1}{2}\pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \right)=20m^{2}[/mm]
>
> was ja insofern ein Problem ist, als dass ich irgendwie
> jetzt keinen Ansatz finde :/
Bei Extremwertaufgaben dieser Form solltest du die Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen. Dann kannst du nämlich die Zielfunktion nur noch von einer Variable abhängig machen und diese dann ableiten, gleich 0 setzen etc., eben Extrempunkte herausfinden.
Bei dir empfiehlt es sich, die Nebenbedingung nach b umzustellen.
Diese Erkenntnis setzt du dann für b in die Zielfunktion ein.
Dann bestimmst du Extremstellen der Zielfunktion. Eine davon ist sicher das gesuchte Minimum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 01.06.2008 | | Autor: | k4m1 |
[mm] \left( a\cdot b \right)+\left( \frac{1}{2}\pi \right)\left( \frac{a}{2} \right)^{2}=20
[/mm]
umstellen
[mm] -\frac{0.5\pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2}}{a}+\frac{20}{a}=b
[/mm]
[mm] 2\cdot \left( \frac{\left( \frac{1}{2}\pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \right)}{a}+\frac{20}{a} \right)+\frac{\pi }{2}
[/mm]
[mm] \pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2}+\pi \left( \frac{a^{2}}{2} \right)+40=0
[/mm]
Erste Ableitung
[mm] \pi \left( \frac{a}{2} \right)+\pi [/mm] a=0
Entweder ich habe einen Rechenfehler, oder irgendwas war am Ansatz falsch, jedenfalls komme ich von diesem Punkt an nicht weiter
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> [mm]\left( a\cdot b \right)+\left( \frac{1}{2}\pi \right)\left( \frac{a}{2} \right)^{2}=20[/mm]
>
> umstellen
> [mm]-\frac{0.5\pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2}}{a}+\frac{20}{a}=b[/mm]
Das ist richtig, du kannst auch schreiben:
[mm]b = -\bruch{1}{8}*\pi*a + \bruch{20}{a}[/mm]
(wenn du den linken Teil deines Terms noch ausmultiplizierst und vereinfachst).
> [mm]2\cdot \left( \frac{\left( \frac{1}{2}\pi \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \right)}{a}+\frac{20}{a} \right)+\frac{\pi }{2}[/mm]
Hier weiß ich jetzt nicht ob es ein Tippfehler ist, aber die Zielfunktion lautet ja eigentlich
[mm]f(a) = 2*b + \bruch{\pi}{2}*\red{a}[/mm]
Das fehlt mir bei dir oben!
Dann kommt bei mir raus für die Zielfunktion (mit obiger b-Vereinfachung):
[mm]f(a) = 2*\left(-\bruch{1}{8}*\pi*a + \bruch{20}{a}\right) + \bruch{\pi}{2}*a[/mm]
Was man noch vereinfachen kann zu:
[mm]f(a) = \bruch{1}{4}*a*\pi + \bruch{40}{a}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 01.06.2008 | | Autor: | k4m1 |
[mm] y=\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{4}x\pi +-\frac{40}{x} \right) [/mm]
Wäre dann ja der nächste Schritt, hier finde ich allerdings keine Nullstelle von x ungleich 0
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Wenn ich meine oben angegebene Flächeninhaltsfunktion (Zielfunktion)
[mm]f(a) = \bruch{1}{4}*\pi*a+\bruch{40}{a}[/mm]
abhängig von a ableite, erhalte ich:
[mm]f'(a) = \bruch{1}{4}*\pi-\bruch{40}{a^{2}}[/mm]
Das mit 0 gleichsetzen führt mich beim Umformen zu einer quadratischen Gleichung, die zwei von 0 verschiedene Nullstellen hat. Eine davon ist positiv, und das ist das gesuchte a für dass die Zielfunktion minimal wird.
Rechne nochmal nach!
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