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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 27.06.2006 | | Autor: | rainer9 |
| Aufgabe | | Zeige, daß die die Hauptkrümmungen der Fläche p(u,v) = [u*cos(v), u*sin(v), exp(v)] unterschiedliches Vorzeichen haben. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Ansatz war zuerst die 1. und 2. Fundamentalform und die Normale zu berechnen:
E(u,v) = [mm] p_{u}² [/mm] = cos²(v)+sin²(v) + 0 = 1
F(u,v) = [mm] p_{u} p_{v} [/mm] = (cos(v)) (-sin(v))+ (sin(v)) (u cos(v)) + 0 = 0
G(u,v) = [mm] p_{v}² [/mm] = (-u sin(v))² + (u cos(v))² + (exp(v))² = u (sin²(v)+cos²(v)) + epx(2v) = u + exp(2v)
für die Normale erhalte ich:
n = [mm] p_{u} [/mm] x [mm] p_{v} [/mm] / [mm] |p_{u} [/mm] x [mm] p_{v}| [/mm] = (cos v, sin v,0)x(-u sin v, u cos v, ev) /|( cos v, sin v,0)x(-u sin v, u cos v, exp(v))|
= (sin v · u cos v - 0, 0-cos v · exp(v), u·cos² v + u sin² v) /|(sin v · u cos v - 0, 0-cos v · exp(v), u·cos² v + u sin² v)|
= (u·sin v · cos v, -cos v · exp(v), u)/| (u·sin v · cos v, -cos v · exp(v), u)| = (u·sin v · cos v, -cos v · exp(v), u) /(u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)
für die 2. Fundamentalform:
L = n [mm] p_{uu} [/mm] = n·(0,0,0) = 0
M = n [mm] p_{uv} [/mm] = n·(-sin v, cos v, 0) = (u·sin v · cos v, -cos v · exp(v), u) (-sin v, cos v), 0)/(u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²) = (-u sin²v · cos v cos²v · exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)
N = n [mm] p_{vv} [/mm] = n·(-u cos v,-u sin v,exp(v)) = (u·sin v · cos v, -cos v · exp(v), u) (-u cos v,-u sin v,exp(v)), 0)/(u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²) = (-u²·sin v·cos v+ u·cos v·sin v·exp(v) + u·exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)
K = LN-M² / (EG-F²) = 0-(-u sin²v · cos v cos²v · exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²) ·(u+exp(2v))
H = ½ · (EN-2FM+GL) /(EG-F²) = ½ (-u²·sin v·cos v+ u·cos v·sin v·exp(v)+u·exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)·(u+exp(2v))
für die Hauptkomponenten:
kmax = H + sqrt(H²-K) = ½ (-u²·sin v·cos v+ u·cos v·sin v·exp(v)+u·exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)·(u+exp(2v)) + sqrt ( (½ (-u²·sin v·cos v+ u·cos v·sin v·exp(v)+ u·exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)·(u+exp(2v)))² + (-u sin²v · cos v cos²v · exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²) ·(u+exp(2v)))
kmin = H sqrt(H²-K) = ½ (-u²·sin v·cos v+ u·cos v·sin v·exp(v)+ u·exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)·(u+exp(2v)) - sqrt ( (½ (-u²·sin v·cos v+ u·cos v·sin v·exp(v)+u·exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²)·(u+exp(2v)))² + (-u sin²v · cos v cos²v · exp(v)) / (u²·sin²v·cos²v+cos²v·exp(2v)+u²) ·(u+exp(2v)))
Eine weitere Vereinfachung konnte ich nicht finden. Ich würde argumentieren, daß der Term unter der Wurzel in beiden Fällen der gleiche und sqrt(H²+etwas positives) >= H sein muß. Da also einmal subtrahiert und einmal addiert wird, müssen die Hauptkrümmungen verschiedene Vorzeichen haben - ganz überzeugend ist das aber nicht: Es muß wohl eine bessere Lösung geben?
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Hallo rainer,
du kannst deine rechnungen zumindest noch etwas reduzieren. du musst eigentlich nur das vorzeichen der Gauss-Krümmung (in deiner rechnung das K, nehme ich an)berechnen, die ja das produkt der hauptkrümmungen ist. wenn du negative gauss-krümmung erhältst, ist die aufgabe erledigt.
vielleicht gehts auch noch eleganter, mir fällt aber momentan nix besseres ein.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Di 27.06.2006 | | Autor: | rainer9 |
Ich hatte noch einen Fehler in meinem Ansatz. Jetzt komme ich auf folgende Gauß'sche Krümmung, die tatsächlich kleiner 0 sein müßte:
K = LN-M² / (EG-F²) = 0- (-exp(v)/sqrt(exp(2v)+u²))² / (u²+exp(2v))
= - (exp(2v)/((exp(2v)+u²)(exp(2v)+u²)) = - (exp(2v)/(exp(2v)+u²)²) = - (exp(v)/(exp(2v)+u²))² < 0
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