Flächenintegral + Ladungsdicht < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Eine kreisförmige Schreibe in der x,y Ebene mit dem Mittelpunkt bei (0,0) und dem Radius a hat auf einer Seite eine Oberflächenladung mit Ladungsdichte:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \sigma_0 \frac{r}{a}, [/mm] wobei [mm] \sigma_0 [/mm] eine Konstante ist.
Berechnen Sie die Gesamtladung.
Okay. Erstmal zum Verständnis:
Ladungsdichte ist Ladung pro Fläche. In der Aufgabe ist die Ladungsdichte ja eigentlich eine Funktion in Abhängigkeit von r, was wohl der Abstand der Fläche zum Mittelpunkt sein soll.
[mm] \sigma(r) [/mm] = [mm] \sigma_0 \frac{r}{a} [/mm] mit a = const.
Für die Gesamtladung habe ich folgende Formel gefunden:
Q = [mm] \integral_{A}^{}{\sigma dA} [/mm]
also in "meiner" Schreibweise wäre das ja:
Q = [mm] \integral_{A}^{}{\sigma(r) dA} [/mm] = [mm] \integral_{A}^{}{\sigma_0 \frac{r}{a} dA}
[/mm]
[mm] \sigma(r) [/mm] beschreibt wohl ein Feld, welches jedem Abstand vom Mittelpunkt r eine Ladungsdichte [mm] \sigma [/mm] zuweist. Das Feld wird für große r radial immer größer - das Feld ist also symmetrisch und schreit geradezu nach Polarkoordinaten.
Wie ich nun aber konkret Über die Fläche integrieren soll ist mir ein Rätsel. Das habe ich noch nie verstanden. Da mir diese Aufgabe als recht einfach erscheint hoffe ich, dass mir einer von euch dazu ein paar Tipps geben kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 02.05.2008 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
diese Aufgabe ist vielleicht zu einfach. Wegen der Symmetrie fällt die Winkelabhängigkeit heraus. Du musst also nur über r integrieren.
Beim Integrieren werden Sücke der Dicke dr aufgesammelt. Du musst jetzt also die Kreisfläche als aus lauter Ringen mit der Dicke dr zusammengesetzt vorstellen. Damit steigst Du von der Schreibweise [mm] $\int_A \ldots [/mm] da$ auf [mm] $\int_0^R \ldots [/mm] dr$ um. Führ dies mal für die Berechnung der Fläche eines Kreises mit dem Radius R, also [mm] $\int_A [/mm] da$ durch.
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