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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:38 Do 23.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Hallo Zwieback
Hier auf die Schnelle noch eine Aufgabe:
Zeichne ein gleichseitiges ABC und konstruiere über den Dreieckseiten nach außen je ein Quadrat. Verbinde nun die äußeren Eckpunkte.
Zeige, dass die neuen Dreiecke alle den gleichen Flächeninhalt haben wie das Dreieck ABC.
Ich hoffe, du bekommst die Zeichnung nach diesen Angaben hin.
Ich muss mich mit der Einbindung von Bildern erst noch beschäftigen.
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Do 23.09.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo.
> Hier auf die Schnelle noch eine Aufgabe:
> Zeichne ein gleichseitiges ABC und konstruiere über den
> Dreieckseiten nach außen je ein Quadrat. Verbinde nun die
> äußeren Eckpunkte.
> Zeige, dass die neuen Dreiecke alle den gleichen
> Flächeninhalt haben wie das Dreieck ABC.
Die 3 Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks sind 60°. Sei [mm]l[/mm] die Seitenlänge des Dreiecks.
Das innere Dreieck lässt sich in 2 rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Einer der Winkel ist hierbei [mm]60°[/mm] und die Hypothenuse hat die Länge [mm]l[/mm].
Die äusseren Dreiecke sind gleichschenklige Dreiecke. Der Winkel zwischen den Seiten 2er Quadrate beträgt [mm]360°-60°-2*90° = 120°[/mm] (60° für den Innenwinkel des Dreiecks und je 90° für die Quadrate).
Die äusseren Dreiecke lassen sich daher wiederum in 2 rechtwinklige Dreiecke unterteilen, wobei wieder einer der Winkel [mm]60°[/mm] beträgt und die Länge der Hypothenuse gleich [mm]l[/mm] ist (Durch die Seitenlänge [mm]l[/mm] der Quadrate). Somit sind die Flächeninhalte gleich.
Ich hoffe das stimmt.
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 23.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo storch und JAn!!
Ich habe diese Aufgabe ähnlich gelöst, wie JAn dennoch denke ich dass meine Lösung irgendwie nicht ausreicht.
Da im gleichseitigen Dreieck jeder WInkel 60° beträgt und jeder WInkel im QUadrat 90° beträgt muss der, am gleichseitigen Dreieck anliegende, WInkel der neuen Dreiecke 120° betragen.
Nun benutzte ich einfach die Flächeninhaltsformel, sodass sich ergibt:
[mm] a^2 * \bruch{\wurzel{3}}{2} = a^2 * \sin 120° [/mm]
dann folgt halt [mm] \wurzel{3} = 2 * sin 120° [/mm]
was doch eigentlich allgemeingültig ist. ICh denke es ist zwar bewiesen, jedoch sehr unschön und ich finde JAns Beweis tausendmal besser.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
Ich finde jans Beweis auch besser, da er geometrisch vorgeht und die Gleichheit der Flächeninhalte mit Hilfe der Kongruenz nachweist.
Bei Zwiebacks Beweisidee muss die andere Schlussrichtung gewählt werden, also aus
[mm]\wurzel{3}=2\sin120°[/mm]
folgt die Gleichheit der Flächeninhalte
Gruß Sigrid
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