Flächeninhalt unter Kurve < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Fr 27.07.2012 | | Autor: | Blaubart |
| Aufgabe | Sei C die durch [mm] \vec{c}(t)= \vektor{e^{t}*cos(\pi*t) \\ e^{t}*sin(\pi*t)}, [/mm] 0 [mm] \le t\le [/mm] 1 definiterte Kurve,
berechnen Sie den Inhalt der von x-Achse und Kurve eingeschlossenen Fläche. |
Hi,
mein Ansatz ist eigentlich einfach das Flächenintegral [mm] \integral_{F}^{}{dS} [/mm] zu berechnen. Wobei meine Parameterisierung der Fläche [mm] \vec{f}(r,\phi)= \vektor{r*cos(\phi) \\ r*sin(\phi) \\ 0}, [/mm] 1 [mm] \le r\le [/mm] e, 0 [mm] \le \phi\le \pi [/mm] ist.
Ich hab dann nachdem ich das Kreuzprodukt usw. berechnet habe da [mm] \integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{e}{r dr d\phi} [/mm] stehen und komme somit auch einen Flächeninhalt von [mm] \bruch{\pi}{2}*(e^2 [/mm] -1).
Ist das richtig so?
|
|
| |
|
Hallo!
> Wobei meine
> Parameterisierung der Fläche [mm]\vec{f}(r,\phi)= \vektor{r*cos(\phi) \\
r*sin(\phi) \\
0},[/mm]
> 1 [mm]\le r\le[/mm] e, 0 [mm]\le \phi\le \pi[/mm] ist.
Das ist nicht richtig. Deine Fläche beschreibt die obere Hälfte eines Kreisrings, der durch zwei konzentrische kreise mit den Radien 1 und e gebildet wird.
Die gesuchte Fläche ist aber die hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Integrationsgrenze [mm] $\le \phi\le \pi$ [/mm] ist OK, aber überlege dir, von wo bis wo r verläuft - und zwar abhängig von [mm] \phi [/mm] !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Blaubart |
Hi,
stimmen die Grenzen denn so:
[mm] \integral_{0}^{\pi}\integral_{e^{\phi/2}}^{1}{r dr d\phi} [/mm] ?
Nur leider kommt da ein negatives Ergebnis raus...
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo!
Leider nein.
Denk dran: Das hier sind polarkoordinaten, der Vektor [mm] \vec{e}_r [/mm] zeigt vom Ursprung weg.
Zeichne doch mal Linien vom Ursprung weg, die mit der positiven x-Achse einen Winkel von 0, [mm] \pi/2 [/mm] oder [mm] \pi [/mm] bilden. Von wo (untere Integrationsgrenze von r) bis wo (obere Grenze) liegen die Linien denn auf der roten Fläche? Und kannst du das dann auch für jeden beliebigen Winkel [mm] \phi [/mm] angeben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 29.07.2012 | | Autor: | Blaubart |
Ok ich glaube jetzt habe ich es. Dann müsste es aber so richitg sein:
[mm] \integral_{0}^{\phi}\integral_{0}^{e^\bruch{\phi}{\pi}}{r dr d\phi} [/mm] oder?
Komme damite dann auch ca 5 FE was ja eigentlich sehr gut passt.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Blaubart,
> Ok ich glaube jetzt habe ich es. Dann müsste es aber so
> richitg sein:
> [mm]\integral_{0}^{\phi}\integral_{0}^{e^\bruch{\phi}{\pi}}{r dr d\phi}[/mm]
Das muss doch hier so lauten:
[mm]\integral_{0}^{\blue{\pi}}\integral_{0}^{e^\bruch{\phi}{\pi}}{r dr d\phi}[/mm]
> oder?
> Komme damite dann auch ca 5 FE was ja eigentlich sehr gut
> passt.
>
Das passt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
|
