Flächeninhalt geschl. Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Der Flächeninhalt A einer pos. orientierten einfach geschlossenen Kurve [mm] \alpha(t)=(x(t), [/mm] y(t)) mit t [mm] \in [/mm] [a,b] wird wie folgt berechnet:
A = - [mm] \integral_{a}^{b}{y(t)x'(t) dt} [/mm] |
Mir ist nicht klar wie man auf diese Formel kommt.
Über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:16 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Der Flächeninhalt A einer pos. orientierten einfach
> geschlossenen Kurve [mm]\alpha(t)=(x(t),[/mm] y(t)) mit t [mm]\in[/mm] [a,b]
> wird wie folgt berechnet:
> A = - [mm]\integral_{a}^{b}{y(t)x'(t) dt}[/mm]
> Mir ist nicht klar
> wie man auf diese Formel kommt.
> Über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Das ist ein Spezialfall (eine Folgerung) aus dem Gaußschen Integralsatz im [mm] \IR^2.
[/mm]
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Calculu |
Viele Dank für die schnelle Antwort.
Hast du einen Link wo dieser Spezialfall hergeleitet wird. Möglichst verständlich.
Viele Grüße.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Viele Dank für die schnelle Antwort.
> Hast du einen Link wo dieser Spezialfall hergeleitet wird.
> Möglichst verständlich.
> Viele Grüße.
Ich mach es Dir vor:
Sei $A$ eine messbare und beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] $\alpha(t)=(x(t),y(t))$ [/mm] , $(t [mm] \in [/mm] [a,b])$, eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit [mm] $\alpha([a,b])= \partial [/mm] A$. Sei weiter $G$ eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] mit $A [mm] \subseteq [/mm] G$ und seien
$P,Q: G [mm] \to \IR$ [/mm] stetig differenzierbare Funktionen.
Dann besagt der Integralsatz von Gauß:
(*) $ [mm] \integral_{A}^{}{(Q_x-P_y) d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{(P dx+Q dy)}$
[/mm]
1. Wählt man $P(x,y)=-y$ und $Q(x,y)=0$, so folgt aus (*):
$ [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{(-y )dx}=\integral_{a}^{b}{(-y(t))x'(t) dt}$
[/mm]
Beachte: [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.
2. Wählt man $P(x,y)=0$ und $Q(x,y)=x$, so folgt aus (*):
$ [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{x dy}=\integral_{a}^{b}{x(t)y'(t) dt}$
[/mm]
Wieder ist [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.
3. Wählt man $P(x,y)=-y$ und $Q(x,y)=x$, so bekommt man eine weitere hübsche Formel für den Flächeninhalt von A. Welche ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen lieben Dank, Fred!
|
|
|
|
