Flächeninhalt "Hyperboloid" < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Fr 09.07.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils des durch [mm] z=2+x^2-y^2 [/mm] beschriebenen Hyperboloids, der oberhalb des durch [mm] x^2+y^2\le [/mm] 1 beschriebenen Kreises in der x-y-Ebene liegt
b) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der zwischen Kreis und Fläche liegt. |
Hi :)
Stehe hier echt auf dem Schlauch, ich dachte ein Hyperboloid wäre etwas in dieser form : http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid
Ich habe meine Funktion etwas umgestellt: [mm] z-x^2+y^2=2 \gdw \bruch{x^2}{2}-\bruch{y^2}{2}-\bruch{z}{2}=-1
[/mm]
sieht aus, wie ein zweischaliges Teil laut Wiki, aber eben ohne [mm] z^2...
[/mm]
Ich gehe davon aus, dass es sinnvoll ist, in Zylinderkoordinaten zu parametrisieren, aber leider weiß ich noch nichtmal, wie das Ding aussieht, da wirds dann mit der Parametrisierung schwierig :(
danke für eure Hilfe!
(falls sich jemand wundert, ich schreib in 2 Wochen Klausur und hier kommen jetzt die Aufgaben rein, für die es keine Lösung gibt bzw die ich nicht selbständig bearbeiten konnte, hoffe das is ok..)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Fr 09.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils des durch
> [mm]z=2+x^2-y^2[/mm] beschriebenen Hyperboloids, der oberhalb des
> durch [mm]x^2+y^2\le[/mm] 1 beschriebenen Kreises in der x-y-Ebene
> liegt
>
> b) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der zwischen
> Kreis und Fläche liegt.
> Hi :)
>
> Stehe hier echt auf dem Schlauch, ich dachte ein
> Hyperboloid wäre etwas in dieser form :
> http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid
>
> Ich habe meine Funktion etwas umgestellt: [mm]z-x^2+y^2=2 \gdw \bruch{x^2}{2}-\bruch{y^2}{2}-\bruch{z}{2}=-1[/mm]
>
> sieht aus, wie ein zweischaliges Teil laut Wiki, aber eben
> ohne [mm]z^2...[/mm]
Vielleicht könntest Du mit einer Skizze die Fläche veranschaulichen. Dazu ist die Orginalfunktion einfacher. Ist eine zusammenhängende "Sattelfläche" mit Sattelpunkt (0,0,2).Nach oben geöffnete Parabel über der x-Achse, nach unten geöffnete Parabel über der y-Achse.
>
> Ich gehe davon aus, dass es sinnvoll ist, in
> Zylinderkoordinaten zu parametrisieren, aber leider weiß
> ich noch nichtmal, wie das Ding aussieht, da wirds dann mit
> der Parametrisierung schwierig :(
Zylinderkoordinaten sind eine gute Idee
>
> danke für eure Hilfe!
>
> (falls sich jemand wundert, ich schreib in 2 Wochen Klausur
> und hier kommen jetzt die Aufgaben rein, für die es keine
> Lösung gibt bzw die ich nicht selbständig bearbeiten
> konnte, hoffe das is ok..)
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 11.07.2010 | | Autor: | kappen |
oki, ich hab mal weiter gemacht...
[mm] z=2+x^2-y^2, x^2+y^2\le1
[/mm]
aus dem 2. gilt schonmal [mm] r^2\le1
[/mm]
[mm] \Phi(r,\phi)=\vektor{rcos\phi\\rsin\phi\\z(r,\phi)}
[/mm]
Wie sieht mein z aus? Ich muss dafür ja oben x und y irgendwie ersetzen. Kann ich einfach sagen [mm] x^2=r^2*cos^2\phi? [/mm]
Mein Flächenintegral sieht dann so aus: [mm] \integral_{G}{|\Phi_r \times \Phi_\phi| dr d\phi}. [/mm] Oder fehlt da noch irgendwie die Funktion [mm] z=2+x^2-y^2?
[/mm]
Geht es so weiter oder ist was falsch, bevor ich hier das Kreuzprodukt ausrechne ;)
Danke & schöne Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 11.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.du musst für z= [mm] \wurzel{r^2cos^2\phi-r^2sin^2\phi+2} [/mm] natürlich einsetzen.
2,mit [mm] dr*rd\phi [/mm] integrieren.
hier deine Fläche, die Parameterlinien darauf sind r=const und [mm] \phi=const [/mm] Linien, die Grenzen [mm] x^2+y^2<1
[/mm]
(hergestellt mit 3dXplorMath)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 11.07.2010 | | Autor: | kappen |
Danke für die Antwort.
Wieso steht da jetzt ne Wurzel? Es war doch [mm] z=2+x^2-y^2?
[/mm]
Wieso kann ich jetzt einfach über [mm] rdr*d\phi [/mm] integrieren? Muss ich das nicht über den Betrag des Kreuzproduktes der Ableitungen machen? Weil damit berechne ich mir doch das Normalenfeld?!
Wenn ich nur über [mm] rdr*d\phi [/mm] integriere, gehe ich doch davon aus, dass mein z konstant oder zumindest keine Funktion ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 11.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry
Die Wurzel ist falsch! meine Fläche dann auch!
hier die richtige
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 11.07.2010 | | Autor: | kappen |
sieht gut aus ;)
Aber worüber muss ich jetzt integrieren? Doch nicht nur über [mm] r*dr*d\phi [/mm] oder?
Wenn ichs aber übers Kreuzprodukt mache kommen heftige Terme raus..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 11.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht, wie du um das Kreuzprodukt rumkommen sollst. probiers mit [mm] r,\phi [/mm] und x,y
selber zu rechnen ist mir zu heiß ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mo 12.07.2010 | | Autor: | kappen |
Okay heute nochmal in Ruhe:
[mm] \Phi_r=\vektor{cos\phi\\sin\phi\\2r(cos^2\phi-sin^2\phi)}
[/mm]
[mm] \Phi_\phi=\vektor{-rsin\phi\\rcos\phi\\-4r^2cos\phisin\phi}
[/mm]
Kreuzprodukt daraus macht echt Arbeit und lädt zu Rechenfehlern ein.. [mm] r^2 [/mm] ausklammern, dann geschickt ausklammern, [mm] cos^2+sin^2=1
[/mm]
=> [mm] \vektor{-2r^2cos\phi\\2r^2sin\phi\\r}
[/mm]
Daraus den Betrag
=> [mm] r\sqrt{4r^2+1} [/mm] wohoo...
Jezt hier mal ne Frage. Es gibt einen Satz von Rotationsflächen, der sagt, dass wenn das z eine Funktion ist, dann ist das Flächenelement in der Art: [mm] r\sqrt{1+(z'(r))^2}, [/mm] das kommt hier nicht ganz hin (hängt noch was von phi abhängiges dran) , aber ich schätze, das gilt wirklich nur, wenn z nur von r abhängig ist, in meinem Fall isses ja auch noch von phi abhängig. Richtig so?
Das integriert über die Grenzen 0<r<1; [mm] 0<\phi<2\pi [/mm] ergibt [mm] \bruch{\pi}{6}(5\sqrt5-1)\approx5,33
[/mm]
Ist nicht so schön wie ich finde. Kann das vllt jemand mal per CAD oder so nachrechnen, vielleicht ist ja doch noch irgendwo ein Fehler drin..
Danke & schönen Abend!
edit:
in Aufgabe b sollte ich das Volumen zwischen dem Hyperboloid und dem Kreis berechnen;
Wieder in zylinderkoordinaten:
[mm] \int\int\int{rd\phi dr dz}
[/mm]
mit
[mm] 0
0<r<1
[mm] 0<\phi<\pi
[/mm]
Bekomme dort 2pi heraus. Stimm laut WolframAlpha, aber ist der Ansatz ok?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo kappen,
> Okay heute nochmal in Ruhe:
>
> [mm]\Phi_r=\vektor{cos\phi\\sin\phi\\2r(cos^2\phi-sin^2\phi)}[/mm]
>
> [mm]\Phi_\phi=\vektor{-rsin\phi\\rcos\phi\\-4r^2cos\phisin\phi}[/mm]
>
> Kreuzprodukt daraus macht echt Arbeit und lädt zu
> Rechenfehlern ein.. [mm]r^2[/mm] ausklammern, dann geschickt
> ausklammern, [mm]cos^2+sin^2=1[/mm]
>
> => [mm]\vektor{-2r^2cos\phi\\2r^2sin\phi\\r}[/mm]
> Daraus den Betrag
> => [mm]r\sqrt{4r^2+1}[/mm] wohoo...
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jezt hier mal ne Frage. Es gibt einen Satz von
> Rotationsflächen, der sagt, dass wenn das z eine Funktion
> ist, dann ist das Flächenelement in der Art:
> [mm]r\sqrt{1+(z'(r))^2},[/mm] das kommt hier nicht ganz hin (hängt
> noch was von phi abhängiges dran) , aber ich schätze, das
> gilt wirklich nur, wenn z nur von r abhängig ist, in
> meinem Fall isses ja auch noch von phi abhängig. Richtig
> so?
Da liegst Du vollkommen richtig.
>
> Das integriert über die Grenzen 0<r<1; [mm]0<\phi<2\pi[/mm] ergibt
> [mm]\bruch{\pi}{6}(5\sqrt5-1)\approx5,33[/mm]
Stimmt ebenfalls.
>
> Ist nicht so schön wie ich finde. Kann das vllt jemand mal
> per CAD oder so nachrechnen, vielleicht ist ja doch noch
> irgendwo ein Fehler drin..
>
> Danke & schönen Abend!
>
> edit:
> in Aufgabe b sollte ich das Volumen zwischen dem
> Hyperboloid und dem Kreis berechnen;
> Wieder in zylinderkoordinaten:
> [mm]\int\int\int{rd\phi dr dz}[/mm]
>
> mit
> [mm]0
> 0<r<1
> [mm]0<\phi<\pi[/mm]
>
> Bekomme dort 2pi heraus. Stimm laut WolframAlpha, aber ist
> der Ansatz ok?
Der Ansatz ist ok.
>
> Danke für eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 13.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Sorry wenns falsch ist was ich sage, aber muss der Winkel nicht von [mm] [,2*\pi] [/mm] laufen anstelle von [mm] [0,\pi] [/mm] bei der Berechnung das Volumens?
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Di 13.07.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo qsxqsx,
> Hallo,
>
> Sorry wenns falsch ist was ich sage, aber muss der Winkel
> nicht von [mm][,2*\pi][/mm] laufen anstelle von [mm][0,\pi][/mm] bei der
> Berechnung das Volumens?
Ja, der Winkel muß von 0 bis [mm]2 \pi[/mm] laufen.
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 14.07.2010 | | Autor: | kappen |
Jo ist richtig. berechnet wurde das allerdings mit [mm] 0<\phi [/mm] <2 [mm] \pi, [/mm] super aufgefallen :)
edit: aah, ich habs hier mit dem Formeleditor falsch eingegeben, hat sich ein Backslash zu viel eingeschlichen ;)
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