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Forum "Topologie und Geometrie" - Flächeninhalt Dreieck
Flächeninhalt Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Flächeninhalt Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Sa 27.06.2009
Autor: georgb

Aufgabe
Dreieck D mit folgenden Eckpunkten gegeben:
A = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3} [/mm]

B = [mm] \vektor{4 \\ 6 \\7} [/mm]

C = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\1} [/mm]

Gesucht: Fläche des Dreiecks

Ich habe folgende Formel gefunden:

[mm] a_{D} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] A_{P} [/mm]

wobei
[mm] A_{P} [/mm] = [mm] |\vec{a} \times \vec{b}| [/mm]

Also ich gehe aus von Punkt A:

brauche 2 Richtungsvektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm]

[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\4} [/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\-2} [/mm]

dann das Kreuzprodukt:
[mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 14 \\-8} [/mm]

dann Betrag davon
[mm] |\vec{a} \times \vec{b}| [/mm] = [mm] \wurzel{-8^{2}+14^{2}-8^{2}} [/mm] = 2 [mm] \wurzel{17} [/mm]


[mm] a_{D} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] A_{P} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] 2\wurzel{17} [/mm] = [mm] \wurzel{17} [/mm]

Flacheninhalt = wurzel{17} = 4,13

stimmt das so ?
        
Bezug
Flächeninhalt Dreieck: Kleiner Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Sa 27.06.2009
Autor: weightgainer


> Dreieck D mit folgenden Eckpunkten gegeben:
>  A = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\3}[/mm]
>  
> B = [mm]\vektor{4 \\ 6 \\7}[/mm]
>  
> C = [mm]\vektor{3 \\ 2 \\1}[/mm]
>  
> Gesucht: Fläche des Dreiecks
>  Ich habe folgende Formel gefunden:
>  
> [mm]a_{D}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]A_{P}[/mm]
>  
> wobei
> [mm]A_{P}[/mm] = [mm]|\vec{a} \times \vec{b}|[/mm]
>  

[ok] Gut gefunden :-).

> Also ich gehe aus von Punkt A:
>  
> brauche 2 Richtungsvektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm]
>  
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\4}[/mm]
>  
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\-2}[/mm]

[ok]
>  
> dann das Kreuzprodukt:
>  [mm]\vec{a} \times \vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 14 \\-8}[/mm]

[ok]
>  
> dann Betrag davon
> [mm]|\vec{a} \times \vec{b}|[/mm] = [mm]\wurzel{-8^{2}+14^{2}-8^{2}}[/mm] = 2
> [mm]\wurzel{17}[/mm]

[notok]
Du musst die Einträge des Vektors quadrieren, also:
[mm]|\vec{a} \times \vec{b}| = \wurzel{(-8)^{2}+14^{2}+(-8)^{2}}=\wurzel{324}=18[/mm]

Entsprechend ändert sich die weitere Rechnung, die aber prinzipiell stimmt.
>  
>
> [mm]a_{D}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]A_{P}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]2\wurzel{17}[/mm]
> = [mm]\wurzel{17}[/mm]
>  
> Flacheninhalt = wurzel{17} = 4,13
>  
> stimmt das so ?

Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 Sa 27.06.2009
Autor: georgb

Vielen Dank für den Hinweis!
Somit kommt als Flächeninhalt 9 heraus

Danke!
Bezug
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