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| Aufgabe | f(x)=x²+2ax
a)Zeige das alle Parabeln einen gemeinsamen Punkt haben
b)Für welches a schließt die Parabel mit der Absizzenachse eine Fläche von a FE ein? |
1. der gemeinsame Punkte müsste ja bei "0" liegen. Das sieht man jedenfalls, wenn man verschiedene Werte fuer "a" einsetzt. Nur kann man das doch sicherlich auch rechnersich ermitteln?!
2. Wie meinen die das "a FE" ? Wie gehe ich hier vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 18.01.2007 | | Autor: | Kroni |
zu a)
Der Punkt (0;0) ist unabhängig von a, deshalb haben alle Parabeln diesen Punkt gemeinsam.
Für alle x<>0 ist y abhängig von a.
zu b) Abzissenachse ist die x-Achse. D.h. die Fläche, die die Funktion mit der x Achse einschließt soll berechnet werden.
Dafür musst du die beiden Nullstellen (wovon du schon eine hast) berechnen, dann ein Integral von 0 bis zur zweiten Nullstelle bilden, weil dieses ja die Fläche ergibt, die die Funktion f mit der x-Achse einschließt.
Dann musst du a so wählen, dass das Ergebnis des Integrals = a ist.
Slaín,
Kroni
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Ok, danke :)
aber was soll ich fuer ein "a" nehmen um erstmal die Nullstellen zu berechnen?
> Dann musst du a so wählen, dass das Ergebnis des Integrals
> = a ist.
verstehe ich auch nicht ganz.
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> Ok, danke :)
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> aber was soll ich fuer ein "a" nehmen um erstmal die
> Nullstellen zu berechnen?
Du musst die Nullstellen ganz allgemein ausrechnen. Dazu kannst du die pq-Formel nehmen.
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2a}{2} \pm \wurzel{(\bruch{2a}{2})^{2}}
[/mm]
> > Dann musst du a so wählen, dass das Ergebnis des Integrals
> > = a ist.
>
> verstehe ich auch nicht ganz.
Es läuft im Endeffekt auf folgende Gleichung hinaus:
[mm] |\integral_{0}^{2a}{x^{2}+2ax dx}| [/mm] = a
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Do 18.01.2007 | | Autor: | DesterX |
Hi !
Es soll heißen:
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \red{-} \bruch{2a}{2} \pm \wurzel{(\bruch{2a}{2})^{2}}
[/mm]
Es ergibt sich dann entsprechend für die Nullstellen: [mm] x_1=-2a [/mm] und [mm] x_2=0
[/mm]
Gruß,
Dester
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Also liest man mit der pq Formel nur die Werte ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 18.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Mit Hilfe der pq-Formel bekommst du die Nullstellen deiner quad. Funktion in Abhängigkeit von a heraus.
Du kannst deine Funktion natürlich auch quadratisch ergänzen und es kommt das selbe heraus.
Nun kannst du die Nullstellen der Funktion ablesen und daraus dann die Grenzen für dein Intervall bestimmen, über das du integrieren musst.
Slaín,
Kroni
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Hm ich setze aber doch einfach nur ein und lese dann "p" und "q" ab.
Da rechne ich ja nicht wirklich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 18.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja, aber dadurch weist du, dass deine Nullstellen der Funktion
x0=0 v x0=-2a sind.
Hierdurch weist du, dass duv on -2a bis 0 Integrieren musst, um die Fläche zu bekommen, die f(x) mit der x-Achse einschließt.
Und diese Fläche kannst du dann ja berechen mit Hilfe der Stammfunktion und des zweiten Hauptsatzes und dann muss dieses Ergebnis gleich a sein.
Slaín,
Kroni
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Jo. Nur wollte ich fragen, ob man wirklich nur ablesen muss.
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Hallo trination
Ja, die Nullstellen musst du im Prinzip wirklich einfach aus der Formel übernehmen. Den Prozess des Umformens, bis du zu den Nullstellen kommst, könnte man aber durchaus als "rechnen" bezeichnen.
Liebe Grüsse, Cristina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 18.01.2007 | | Autor: | XPatrickX |
upps, du hast natürlich recht. Dankeschön 
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Erm... wie musste ich das nochmal schriftlich rechnen... ich kenn das nur noch vom GTR.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Do 18.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Quadratische Ergänzung:
f(x)=x²+2ax =x²+2ax+a²-a²=(x+a)²-a²
f(x)=0 <=> (x+a)²=a² <=> x+a=+a v x+a=-a
<=>x=a-a=0 v x=-a-a=-2a
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Ich meinte eigentlich wie ich das Integral berechne? Oder berechnet man das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Achso^^
Ne, das war die schriftliche Lösung der quad. Funktion.
Dann musst du ja das Integral von -2a bis 0 berechnen.
[mm] \integral_{-2a}^{0}{x^{2}+2ax dx}=\integral_{-2a}^{0}{x^{2} dx}+\integral_{-2a}^{0}{2ax dx}=\integral_{-2a}^{0}{x^{2} dx}+2a\integral_{-2a}^{0}{x dx}
[/mm]
Und das solltest du doch selbst hinbekommen=)
Stelle dir folgende Frage:
Welche Funktion ergibt abgeleitet [mm] x^2 [/mm] und welche Funktion gibt abgeleitet x
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Fr 19.01.2007 | | Autor: | trination |
[mm] x^2 [/mm] -> [mm] \bruch{1}{3}x^3
[/mm]
x -> [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Aber ich weiß nicht mehr wie man das aufschreibt ... also die Schreibweise. Ich frische nur altes wissen wieder auf.
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Also wie mache ich jetzt weiter...schreibweise ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Kroni |
"Unsere" schreibweise, die wir gelernt haben ist folgende:
$ [mm] \integral_{-2a}^{0}{x^{2}+2ax dx}$=[\bruch{1}{3}x^{3}+2a*0,5x^{2}] [/mm] und dann haben wir unten rechts an die eckige Klammer die untere Grenze also die -2a und oben die obere Grenze, also die 0 angeschrieben.
Und dann kannste den zweiten Hauptsatz der Integralrechnung anwenden:
F(0)-F(-2a)=.....
Und das Ergebnis ist dann deine Fläche...
Und diese Fläche soll dann ja noch gleich a sein.
Slaín,
Kroni
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Sorry ich hab noch eine bescheide Frage^^
Was ist der 2. Hauptsatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo trination!
Dieser Hauptsatz besagt, dass ein bestimmtes Integral bestimmt wird durch die Differenz der Funktionswerte der zugehörigen Stammfunktion $F(x)_$ ("obere Grenze" minus "untere Grenze"):
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x) \ \right]_{a}^{b} [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$
Gruß
Loddar
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[mm] \bruch{4}{3}a^2+2a*2a^2.... [/mm] - ...
stimmt das so schonmal? Könnt ihr vl. die Lösung posten, damit ich dann weiß ob ich richtig zusammengefasst habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Kroni |
das wäre
[mm] -1/3*(-2a)^3-2a*0,5*(-2a0)^2=8/3*a^3-4a^3
[/mm]
da F(0)=0
Denn du sollst ja das Integral von -2a bis 0 berechnen und das ist gleich
[mm] F(0)-F(-2a)=0+8/3a^3-4a^3
[/mm]
Sollte eigentlich stimmen.
Werde jetzt aber auch nicht mehr antworten, erst ab morgen Mittag wieder.
Slaín,
Kroni
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> [mm]F(0)-F(-2a)=0+8/3a^3-4a^3[/mm]
>
ich hab [mm] -8/3a^3 [/mm] + [mm] 4a^3
[/mm]
Oh du hast ja dein Betrag editiert ^^ dann kommen wir ja aufs gleiche.
hm [mm] \bruch{4}{3}a^3 [/mm]
und jetzt muss ich das mit irgendwas gleichsetzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Right.
[mm] \bruch{4}{3}a^3 [/mm] gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a an und dieser soll gleich a sein (s.h. Aufgabenstellung).
Also gleichsetzen und ausrechnen.
[mm] \bruch{4}{3}a^3=a [/mm] <=> [mm] \bruch{4}{3}a^3-a=0 <=>a(\bruch{4}{3}a^2-1)=0 [/mm] <=>a=0 v [mm] a^2=\bruch{3}{4}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Fr 19.01.2007 | | Autor: | trination |
Awsome :D
Trotzdem verwirrt mich die Fragestellung: "...eine Fläche a FE"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja, kann ich verstehen, weil wenn da steht die Fläche soll a FE sein, dann weiß man nicht direkt, was gemeint ist.
Aber da man ja weiß, dass a eine Zahl (die du im Übrigen nicht näher definiert hast, ich wette, dass a nicht Null sein soll/darf) ist, dann weiß man auch etwas damit anzufangen.
Wenn du dir das so abstrakt nicht vorstellen kannst, dann stelle dir doch einfach vor, du habest für das a einen bestimmen Wert eingesetzt, z.B. 1.
So soll dann das Integral von -2 bis 0 von f(x) gleich Eins sein.
Hoffe, die Aufgabe ist jetzt soweit dann verständlich geworden und abschließbar.
Slaín,
Kroni
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