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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Fr 27.10.2006 | | Autor: | ron |
| Aufgabe | Bestimme den Flächeninhalt von M = ( $ (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] |x|^{\bruch{1}{k}} [/mm] + [mm] |y|^{\bruch{1}{k}} \le [/mm] 1 $)
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Hallo,
wie müssen in diesem Fall die Integralgrenzen angepaßt werden?
Zur Vereinfachung kann k = 2 oder 3 gewählt werden.
Die allgemeine Flächenformel für diese Menge kenne ich, es geht mir um die Herleitung.
Danke
Ron
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Was soll denn [mm]k[/mm] hier sein? Eine positive ganze Zahl? Ich gehe jedenfalls einmal davon aus. Die Ungleichung
[mm]\left| x \right|^{\frac{1}{k}} + \left| y \right|^{\frac{1}{k}} \leq 1[/mm]
ist offenbar nur erfüllbar, wenn sowohl [mm]\left| x \right| \leq 1[/mm] als auch [mm]\left| y \right| \leq 1[/mm] gilt. Erfüllt [mm](x,y)[/mm] die Ungleichung, so auch [mm](-x,y), (-x,-y), (x,-y)[/mm] und [mm](y,x)[/mm]. Die Menge ist daher sowohl symmetrisch bezüglich der Koordinatenachsen als auch bezüglich der Winkelhalbierenden der Quadranten. Insbesondere genügt es, den Teil der Fläche im ersten Quadranten (dort können die Betragsstriche entfallen) zu berechnen und zu vervierfachen. Löst man
[mm]x^{\frac{1}{k}} + y^{\frac{1}{k}} \leq 1[/mm]
nach [mm]y[/mm] auf, so erhält man
[mm]y \leq \left( 1 - x^{\frac{1}{k}} \right)^k[/mm]
Der gesuchte Flächeninhalt ist daher
[mm]A_k = 4 \int_0^1~\left( 1 - x^{\frac{1}{k}} \right)^k ~\mathrm{d}x[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die ersten Werte sind: [mm]A_1 = 2, \, A_2 = \frac{2}{3}, \, A_3 = \frac{1}{5}[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Mo 30.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
da habe ich die Symmetrie bzgl. der Achsen erkannt, aber die bzgl. der Winkelhalbierenden nicht, somit stimmte mein Vorfaktor nicht. Beruhigt bin ich, dass die Auflösung nach y auch richtig war. Vielen Dank für die zusätzlichen Grafiken, die Annahme mit k [mm] \in \IZ [/mm] war richtig hatte ich vergessen.
Gruß
Ron
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