Flächenformel für Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bei einer Gleichung soll die Fläche im Intervall [0;4] bei der Gleichung f(x) = x berechnet werden. Die Fläche wird in "n" Teile unterteilt und es ergibt sich für die Untersumme folgende Rechnung:
U = 16 / n² * [1+2+3+ (n-1)]
wegen [1+2+3+ ... + (n-1)] = 0.5 n (n-1) ergibt sich:
U = 16 /2 * n/n * (n-1) /n
--> n lim [mm] \infty [/mm]
|
Hallo, in der letzten Stunde haben wir uns mit der ersten PRoduktsumme für einen Flächeninhalt im Hinblick auf Integralrechnung beschäftigt!
Ich weiß jetzt, warum in der eckigen Klammer "(n-1)" am Ende stehen muss und verstehe das auch!Ich habe mir sowohl eine Zeichnung gemacht, als auch mit n=5 für mein Verständnis gerechnet!
Das n am Ende gegen unendlich laufen muss verstehe ich auch!
Was mir allerdings ein Rätsel ist, ist die Tatsache, dass
[1+2+3+ ... + (n-1)] = 0.5 n (n-1) ergibt! Dazu war folgende Nebenrechnung angegeben:
Aus:
1+2+...+z
+ z+(z-1)+...+1
(z+1)+(z+1)+...+(z+1)
folgt:
1+2+...+z= 0.5z(z+1)
ist dann z= n-1 gilt:
1+2+...+ (n-1) = 0.5 n (n-1)
diese Rechnung hat mich nur noch mehr verwirrt und ich begreife nichts mehr! Rein rechnerisch ergeben beide Seiten der letzten genannten Gleichung dasselbe, wenn man mit einer Beispielzahl für n und einem gegebenen Intervall rechnet!
Aber wie kommt man im Einzelnen darauf?
Liebe Grüße Geodreieck
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Das ist der so genannte kleine Gauß [mm] \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}
[/mm]
Anschaulich geht das so:
Du willst die Summe der nat. Zahlen bis 5 berechnen. Schreibe die Zahlen der Reihe nach auf, da drunder nochmal in umgekehrter Reihenfolge. Addiere die übereinander stehenden Zahlen:
1 2 3 4 5
+ 5 4 3 2 1
-------------
6 6 6 6 6
Die Summe in der letzten zeile ist 6+6+6+6+6=5*6. Das ist aber das doppelte des gesuchten, man muß noch durch 2 teilen. Die Summe ist also [mm] 1+2+3+4+5=\frac{5*6}{1}=\frac{5*(5+1)}{1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Di 27.11.2007 | | Autor: | Geodreieck |
Wow vielen Dank, das erscheint mir auf jeden fall logisch!
in der letzten zeile soll unter dem bruchstrich eine 2 stehen, keine 1: für alle die den artikel sonst noch lesen ;)
liebe grüße
|
|
|
|
