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aufgaben für folgende Fkt.:
f(x) = (5x - 5) [mm] e^{x}
[/mm]
b. Bestimmen Sie jeweils die Größe der Fläche zwischen der Fkt und der xAchse im Intervall [-2; 3]
Als erstes habe ich die Stammfkt. gebildet:
F(x) = ( [mm] \bruch{5}{2} [/mm] * x - [mm] \bruch{15}{4}) e^{x}
[/mm]
A = F(-2) - F(1) + F(3) - F(1) [mm] \approx [/mm] -0,16 + 12,32 + 1512,86 + 12,32
[mm] \approx [/mm] 1537,34
Ich bitte darum, diese Aufgabe zu kontrollieren. Bin mir unsicher, da eine so große Zahl rauskommt.
c. Bestimmen Sie die Größe der Fläche zwischen f und der xAchse im Intervall [ b ; 0 ] (mit b < 0). Wie groß ist die Fläche, die im 3.Quadranten zwischen f und der x-Achse liegt?
A = F(b) - F(0)
F(0) = - [mm] \bruch{15}{4}
[/mm]
F(b) = [mm] (\bruch{5}{2} [/mm] * b - [mm] \bruch{15}{4}) e^{2b}
[/mm]
A = ( [mm] \bruch{5}{2} [/mm] * b - [mm] \bruch{15}{4} [/mm] ) [mm] e^{2b} [/mm] + [mm] \bruch{15}{4}
[/mm]
jetz weiß ich nicht weiter. Eigentlich wollte ich nach b auflösen, um dies auszurechnen, aber ich weiß nicht wie
helft mir bitte!
Liebe Grüße
HeinBloed
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Hallo HeinBloed,
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> aufgaben für folgende Fkt.:
> f(x) = (5x - 5) [mm]e^{x}[/mm]
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> b. Bestimmen Sie jeweils die Größe der Fläche zwischen der
> Fkt und der xAchse im Intervall [-2; 3]
>
> Als erstes habe ich die Stammfkt. gebildet:
> F(x) = ( [mm]\bruch{5}{2}[/mm] * x - [mm]\bruch{15}{4}) e^{x}[/mm]
Entweder stimmt hier die Funktion f(x) oder die Stammfunktion F(x) nicht.
Gruß
MathePower
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entschuldigung! Es muss heißen:
f(x) = (5x - 5) [mm] e^{2x}
[/mm]
F(x) = ( [mm] \bruch{5}{2} [/mm] x - [mm] \bruch{15}{4}) e^{2x}
[/mm]
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Hallo HeinBloed,
> entschuldigung! Es muss heißen:
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> f(x) = (5x - 5) [mm]e^{2x}[/mm]
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> F(x) = ( [mm]\bruch{5}{2}[/mm] x - [mm]\bruch{15}{4}) e^{2x}[/mm]
>
dann kommt da wirklich so eine große Zahl heraus.
Für den Teil c) ist eine Grenzwertbetrachtung für [mm]b\;\to\;-\infty[/mm] nötig.
Gruß
MathePower
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> Für den Teil c) ist eine Grenzwertbetrachtung für
> [mm]b\;\to\;-\infty[/mm] nötig.
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[mm] \limes_{b\rightarrow-\infty} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Ich verstehe nicht, wie mir das weiter hilft?
ich weiß ja schon, dass b < 0 ist.
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Hallo HeinBloed!
Ganz oben hattest Du Deine Stammfunktion $F(x)_$ völlig richtig angegeben mit:
$F(x) \ = \ [mm] \left(\bruch{5}{2}x-\bruch{15}{4}\right)*e^{2x}$
[/mm]
Für die Fläche in Abhängigkeit von $b_$ gilt allerdings:
$A(b) \ = \ [mm] \underbrace{F(0)}_{obere \ Grenze} [/mm] - [mm] \underbrace{F(b)}_{untere \ Grenze} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{15}{4} [/mm] - [mm] \left(\bruch{5}{2}b-\bruch{15}{4}\right)*e^{2b}$
[/mm]
Und für diesen Ausdruck $A(b)_$ sollst Du nun mal $b_$ "unendlich klein" werden lassen, also den Grenzwert für $b [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] bestimmen.
Welchen Wert erhältst Du dann?
Gruß vom
Roadrunner
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> [mm]F(x) \ = \ \left(\bruch{5}{2}x-\bruch{15}{4}\right)*e^{2x}[/mm]
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> Für die Fläche in Abhängigkeit von [mm]b_[/mm] gilt allerdings:
>
> [mm]A(b) \ = \ \underbrace{F(0)}_{obere \ Grenze} - \underbrace{F(b)}_{untere \ Grenze} \ = \ -\bruch{15}{4} - \left(\bruch{5}{2}b-\bruch{15}{4}\right)*e^{2b}[/mm]
ich dachte, da die Fkt. im negativen Bereich liegt, ist die Formel F(b) - F(0)??
> Und für diesen Ausdruck [mm]A(b)_[/mm] sollst Du nun mal [mm]b_[/mm]
> "unendlich klein" werden lassen, also den Grenzwert für [mm]b \rightarrow -\infty[/mm]
> bestimmen.
>
>
> Welchen Wert erhältst Du dann?
null. Also der Graph nähert sich immer mehr der x-achse an.
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Hallo Heinbloed,
> > [mm]F(x) \ = \ \left(\bruch{5}{2}x-\bruch{15}{4}\right)*e^{2x}[/mm]
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> >
> > Für die Fläche in Abhängigkeit von [mm]b_[/mm] gilt allerdings:
> >
> > [mm]A(b) \ = \ \underbrace{F(0)}_{obere \ Grenze} - \underbrace{F(b)}_{untere \ Grenze} \ = \ -\bruch{15}{4} - \left(\bruch{5}{2}b-\bruch{15}{4}\right)*e^{2b}[/mm]
>
> ich dachte, da die Fkt. im negativen Bereich liegt, ist die
> Formel F(b) - F(0)??
Für den Betrag der Fläche stimmt das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> > Und für diesen Ausdruck [mm]A(b)_[/mm] sollst Du nun mal [mm]b_[/mm]
> > "unendlich klein" werden lassen, also den Grenzwert für [mm]b \rightarrow -\infty[/mm]
> > bestimmen.
> >
> >
> > Welchen Wert erhältst Du dann?
>
> null. Also der Graph nähert sich immer mehr der x-achse an.
Das kann nicht sein. Rechne das doch bitte noch mal nach.
[mm]\mathop {\lim }\limits_{b \to - \infty } \;A(b)\; = \;\mathop {\lim }\limits_{b \to - \infty } \;\left( {\frac{5}
{2}\;b\; - \;\frac{{15}}
{4}} \right)\;e^{2b} \; + \;\frac{{15}}
{4}\; = \;?[/mm]
Gruß
MathePower
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also...
habe meinen Fehler von vorhin gefunden. Ich habe nämlich mit der Skizze von f(x) gearbeitet.
>
> [mm]\mathop {\lim }\limits_{b \to - \infty } \;A(b)\; = \;\mathop {\lim }\limits_{b \to - \infty } \;\left( {\frac{5}
{2}\;b\; - \;\frac{{15}}
{4}} \right)\;e^{2b} \; + \;\frac{{15}}
{4}\; = \;?[/mm]
Habe mal -10 und -100 eingesetzt und bin zu dem Schluss gekommen, dass sich b immer mehr [mm] \bruch{15}{4} [/mm] annähert!??
Wenn das richtig ist, ist dies dann ein allgemeines Verfahren b in solchen Fällen zu bestimmen?
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße
HeinBloed
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Hallo HeinBloed,
> also...
> habe meinen Fehler von vorhin gefunden. Ich habe nämlich
> mit der Skizze von f(x) gearbeitet.
>
>
> >
> > [mm]\mathop {\lim }\limits_{b \to - \infty } \;A(b)\; = \;\mathop {\lim }\limits_{b \to - \infty } \;\left( {\frac{5}
{2}\;b\; - \;\frac{{15}}
{4}} \right)\;e^{2b} \; + \;\frac{{15}}
{4}\; = \;?[/mm]
>
> Habe mal -10 und -100 eingesetzt und bin zu dem Schluss
> gekommen, dass sich b immer mehr [mm]\bruch{15}{4}[/mm]
> annähert!??
Das stimmt.
>
> Wenn das richtig ist, ist dies dann ein allgemeines
> Verfahren b in solchen Fällen zu bestimmen?
Zum Ausprobieren reicht das allemal.
Nun ja, für [mm]b\to\infty[/mm] ist das ein unbestimmter Ausdruck.
Das ist dann ein Ausdruck der Form [mm]0\;\times\;\infty[/mm].
Denn kann man mit der LHospitalschen Regel untersuchen.
Gruß
MathePower
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