Flächenberechnung bei f(x) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch
[mm] f(x)=4-\bruch{4}{x²} [/mm] mit [mm] x\not=0
[/mm]
Ihr Schaubild ist K.
T sei ein Punkt auf K mit positivem x-Wert. Die Tangente und die Normale in bilden zusammen mit der y-Achse ein Dreieck. Dieses Dreieck soll gleichschenklig werden.
Berechne die Koordinaten seiner Spitze T!
Wie groß ist der Flächeninhalt dieses gleichschenkligen Dreiecks? |
Könnt ihr mir helfen?
Ich habe echt gar keinen Plan, was zu machen ist.
Bitte Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Do 01.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Die Steigung der Tangente an einem Punkt x ist die Ableitung der Funktion.
Also in deinem Fall mit [mm] f(x)=4-\bruch{4}{x²}=4-4*x^{-2} [/mm] ist die Ableitung:
[mm] f'(x)=8*x^{-3}=\bruch{8}{x³}.
[/mm]
Die Normale ist ja eine Gerade, die senkrecht auf deiner gegebenen Gerade steht. Hat die gegebene Gerade die Steigung [mm] m_{g} [/mm] , und die gesuchte Steigung der Normalen sei [mm] m_{n} [/mm] , so gilt:
[mm] m_{g}*m_{n}=-1 [/mm] .
In deinem Fall gilt : [mm] m_{g} [/mm] = [mm] \bruch{8}{x³} [/mm] .
Also gilt: [mm] \bruch{8}{x³}*m_{n}=-1 \gdw m_{n}=-\bruch{x³}{8} [/mm] .
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter.
Marius
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Danke, du hast mir schon ein wenig weiter geholfen - DANKE.
Aber wie geht es nun weiter? Ich habe echt keinen Schimmer.
Bitte helf' mir doch noch weiter.
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Hi, Trainspotter,
das mit den Steigungen ist also nun geklärt!?
Am besten, Du schreibst den Punkt T als:
T(a; 4 - [mm] \bruch{4}{a^{2}}) [/mm]
und erstellst daraus die Tangenten- und die Normalengleichung.
Dann ermittelst Du deren Schnittpunkte mit der y-Achse.
(Zum Vergleich: Ich erhalte - ohne Garantie -
A(0; 4 - [mm] \bruch{12}{a^{2}}) [/mm] für die Tangente
und
B(0; 4 - [mm] \bruch{4}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{a^{4}}{8}) [/mm] .)
Nun musst Du Dir überlegen - am besten mit Hilfe einer Skizze - wie Du die Bedingung "gleichschenkliges Dreieck" am besten in eine rechnerische Bedingung verwandelst.
Kleiner Tipp:
In diesem Fall (also beim gleichschenkligen Dreieck) trifft die von T ausgehende Höhe (die liegt waagrecht!) die y-Achse
GENAU IN DER MITTE ZWISCHEN A und B!
Schaffst Du's nun?
mfG!
Zwerglein
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Hi, Trainspotter,
noch immer "kein' Plan"?
Also noch eine Hilfe:
Die von mir erwähnte "Mitte" (M) zwischen A und B hat dieselbe y-Koordinate wie der Punkt T, also:
M(0; 4 - [mm] \bruch{4}{a^{2}})
[/mm]
Und nun?!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Do 01.06.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Trainspotter,
so geht das nicht!
Du kannst nicht ständig Deine Frage auf "statuslos" setzen, ohne eigene Lösungsansätze zu liefern!
Also bitte: Wie weit bist Du mit den Tipps gekommen?!
mfG!
Zwerglein
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