Flächenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie die durch die beiden Funktionen f(x)= 1+2sinx und g(x)=2 für 0<x<2 pi begrenzte Fläche! |
Ich wollte hier jetzt erstmal die Schnittpunkte berechnen, weil man ja nicht weiß, ob eine Fläche vielleicht im negativen Bereich liegt.
Also habe ich gleichgesetzt:
1+2sinx=2
Und hier habe ich jetzt das Problem, dass ich überhaupt nicht weiß, wie man eine Gleichung löst, in der das x an das Sinus gebunden ist. Habe dann auch mal den Taschenrechner befragt, aber der liefert auch nur komische Werte. Also wie macht man sowas? Die Aufgabe ist aus der letzten Prüfung, durch die ich leider gefallen bin.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 17.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo julia
du hast wenn du einen Schritt weiterrechnest sinx=1/2
entweder weisst du dass das bei [mm] x=\pi/6 [/mm] bzw 30° ist, oder du musst es mit deinen TR bestimmen.
Die funktion, die sin umkehrt heisst arcsin
also arcsin(sin(x))=x
auf dem TR ist sie unter Inv sin oder [mm] sin^{-^} [/mm] oder arcsin oder asin zufinden. wenn du also 0.5 und dann inv sin drückst sollte 30° oder in rad 0.523.. rauskommen. dann denk dran, wie die sin fkt aussieht, wenn sie bei 30° 0,5 ist, wo dann wieder?
und mach dir ne Skizze von f und g!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke erstmal. Also mit meinem Taschenrechner kann ich nur sehr schlecht umgehen.
Nur das ich das jetzt bis hier richtig verstehe, die Lösung für die Schnittpunkte wäre dann also das die Funktion bei 30 Grad und 0,5 ein Schnittpunkt ist?
Man splittet also das X gar nicht von dem Sinus los? Also Taschrechnermäßig stelle ich das dann eben um : sinx=1/2 und dann gebe ich das in den Taschenrechner ein und hoffe das er mir den richtigen Wert gibt. Also im Gleichungsprogramm natürlich. Also irgendwie bräuchte ich doch eigentlich einen Wert für x, damit ich den dann für x einsetzen kann und y erhalte.
Ich verstehe nicht richtig wie ich mit diesem Sinus Wissen jetzt dahin kommen kann. So ganz normal scheint das ja dann nciht zu funktionieren, dachte es gibt einfach nen Trick mit dem man das Sinus los wird...
Skizze kann ich machen, muss ich mich heute Abend erstmal ransetzen und guicken wie das bei dem Taschenrechner geht.
Und woher ich jetzt wissen soll, wann er wieder bei 0,5 ist, weiß ich jetzt nicht wirklich.
Tut mir Leid aber irgendwie habe ich diesen Stoff gar nicht mehr drauf oder hatte es einfach nie in dieser Form...
|
|
|
| |
|
> siehe anfang
> Danke erstmal. Also mit meinem Taschenrechner kann ich nur
> sehr schlecht umgehen.
Hallo,
dann solltest Du das mal ein bißchen üben.
Besser und schneller ist man oft aber ohne Taschenrechner, denn der TR sagt einem sowieso manchmal nicht die ganze Wahrheit.
> Nur das ich das jetzt bis hier richtig verstehe, die
> Lösung für die Schnittpunkte wäre dann also das die
> Funktion bei 30 Grad und 0,5 ein Schnittpunkt ist?
Die Stellen x, an denen sich die Graphen von g(x)=1+2sin(x) und h(x)=2 schneiden,
sind die Śtellen x, an welchen 1+2sinx=2 gilt,
und das sind genau die Stellen mit [mm] sinx=\bruch{1}{2}.
[/mm]
So, nun muß man die x irgendwie finden.
Möglichkeit A:
Du hast die wichtigen sin-Werte im Kopf und weißt einfach, daß [mm] sin(30°)=\bruch{1}{2} [/mm] ist.
Damit weißt Du, daß x=30° eine(!) Lösung ist.
Möglichkeit B:
Du weißt, daß für [mm] sinx=\bruch{1}{2} [/mm] die Hypothenuse doppelt so lang ist wie die Kathete, und Dir fällt ein, daß wir die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks vorliegen haben, daß also x=30° ist. Damit hast Du eine(!) Lösung.
Möglichkeit C:
Du nimmst Deinen TR und arbeitest mit der Umkehrfunktion des sin.
Wissen willst Du [mm] sinx=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Dazu läßt Du berechnen [mm] arcsin(\bruch{1}{2})=x.
[/mm]
Der TR teilt mit: x=30°, womit Du eine Lösung der Gleichung hast.
Wir sind nun auf dem Stand, daß Du irgendwie gefunden hast, daß x=30° die Gleichung löst.
Für das, was nun kommt, brauchst Du etwas Wissen über die Sinusfunktion, ihre Symmetrie und ihre Periodizität.
Das mußt Du nachlesen und nacharbeiten, wir können und wollen Dir das nicht abnehmen - dabei auftauchende Fragen beantworten wir gern.
Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode 360°, dh. daß an allen Stellen [mm] x_k=30° [/mm] + k*360° derselbe Funktionswert angenommen wird wie bei [mm] x_0=30°. [/mm] (k ganzzahlig, also auch neg.)
Damit hast Du eine Fülle weiterer Lösungen Deiner Gleichung.
Das ist aber nicht alles. Die Sinunsfunktion ist auch symmetrisch zu der Geraden, die senkrecht auf der x-Achse steht und durch x=90° verläuft.
(Schau Dir den Graphen der Sinusfunktion an - Du mußt ihn übrigens jederzeit skizzieren können, um Dich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf zu ziehen, z.B. in Prüfungen.)
Also hat die sin-Funktion bei x'=150° denselben Funktionswert wie bei 30°.
(Hinweis: 30=90-60, [mm] \qquad [/mm] 150=90+60)
Damit hast Du eine weitere Lösung.
Und nun erinnere Dich wieder an die Periodizität: alls x' mit [mm] x_k'=150°+k*360° [/mm] sind ebenfalls Lösungen.
> Tut mir Leid aber irgendwie habe ich diesen Stoff gar
> nicht mehr drauf oder hatte es einfach nie in dieser
> Form...
Ich denke: ersteres - und Du kannst etwas dagegen tun...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ja ich bin auch immer dabei mit dem handbuch zu lernen. Der ist halt einfach sehr kompliziert.
Also wissen würde ich die Sachen, die mich auf die 30 Grad bringen nicht.
Wenn ich aber sin^(-1)0,5=x in den Taschenrechner eingebe, dann erhalte ich 0,523599. Auch wenn ich nur sin^(-1)0,5 eingebe oder es über das Gleichungsprgramm eingebe, erhalte ich dieses Ergebnis. Woran kann das liegen?
Wie man den Graphen zeichnet, habe ich jetzt rausgefunden. Die Graphen liegen nicht im negativen Bereich. Der eine ist eine sich regelmäßig wiederholende Wellenlinie und der der andere liegt einfach nur gerade auf den Spitzen der wellen auf. Da ich nun weiß, dass die Fläche im positiven Bereich ist, wäre es dann nicht so, dass ich die Schnittpunkte gar nicht mehr brauche? Weil ich habe ja die Vorgabe 0<x<2 pi . Das ist ja bereits ein Integralbereich.
Ich habe mir jetzt einige Bücher gekauft, um das nochmal alles aufzufrischen. Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies und Mathe macchiato. Da ich mit Fachsprache usw. immer probleme habe, hoffe ich das hilft. Allerdings hatte ich so ein Sinus Wissen noch nie. Die Zeit ist jetzt auch langsam knapp, aber wir dürfen alles beliebigen Unterlagen mit in die Prüfung nehmen. Man hat halt nicht so viel zeit, daher muss man es trotzdem einigermaßen drauf haben.
Danke schonmal für die Hilfe bis hier.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 So 21.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Ja ich bin auch immer dabei mit dem handbuch zu lernen. Der
> ist halt einfach sehr kompliziert.
> Also wissen würde ich die Sachen, die mich auf die 30 Grad
> bringen nicht.
> Wenn ich aber sin^(-1)0,5=x in den Taschenrechner eingebe,
> dann erhalte ich 0,523599. Auch wenn ich nur sin^(-1)0,5
> eingebe oder es über das Gleichungsprgramm eingebe,
> erhalte ich dieses Ergebnis. Woran kann das liegen?
Hallo,
0,52... ist ein 30°-Winkel, der im Bogenmaß angegeben wurde.
Genau genommen ist das [mm] \pi/6.
[/mm]
Übrigens schneiden sich f(x) und g(x) nicht im eigenlichen Sinn.
Da sin(x) und auch sin(2x) nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen, kann 1+sin(2x) MAXIMAL 2 werden.
Somit berührt der Graph von y=2 lediglich die Hochpunkte, ohne zu schneiden.
Gruß Abakus
> Wie man den Graphen zeichnet, habe ich jetzt rausgefunden.
> Die Graphen liegen nicht im negativen Bereich. Der eine
> ist eine sich regelmäßig wiederholende Wellenlinie und
> der der andere liegt einfach nur gerade auf den Spitzen der
> wellen auf. Da ich nun weiß, dass die Fläche im positiven
> Bereich ist, wäre es dann nicht so, dass ich die
> Schnittpunkte gar nicht mehr brauche? Weil ich habe ja die
> Vorgabe 0<x<2 pi . Das ist ja bereits ein Integralbereich.
>
> Ich habe mir jetzt einige Bücher gekauft, um das nochmal
> alles aufzufrischen. Mathematik für Naturwissenschaftler
> für Dummies und Mathe macchiato. Da ich mit Fachsprache
> usw. immer probleme habe, hoffe ich das hilft. Allerdings
> hatte ich so ein Sinus Wissen noch nie. Die Zeit ist jetzt
> auch langsam knapp, aber wir dürfen alles beliebigen
> Unterlagen mit in die Prüfung nehmen. Man hat halt nicht
> so viel zeit, daher muss man es trotzdem einigermaßen
> drauf haben.
>
> Danke schonmal für die Hilfe bis hier.
>
|
|
|
| |
|
Hmm okay. Nur blöd wenn man nicht weiß, dass das 30 Grad sind. Kann man sowas irgendwie umstellen oder hat man dadurch keine Nachteile, wenn ich jetzt mit diesen 5,... weiterrechnen würde?
Okay also er berührt die nur, aber sie schließen ja schon eine Fläche ein. Und berechnet werden soll die Fläche zwischen 0<x<2 pi
Habe ich dann nicht damit schon meine Integrationsgrenzen und kann mir die Schnittpunkte und auch diese Sinus Sache sparen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 21.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hmm okay. Nur blöd wenn man nicht weiß, dass das 30 Grad
> sind. Kann man sowas irgendwie umstellen oder hat man
> dadurch keine Nachteile, wenn ich jetzt mit diesen 5,...
> weiterrechnen würde?
>
> Okay also er berührt die nur, aber sie schließen ja schon
> eine Fläche ein. Und berechnet werden soll die Fläche
> zwischen 0<x<2 pi
> Habe ich dann nicht damit schon meine Integrationsgrenzen
> und kann mir die Schnittpunkte und auch diese Sinus Sache
> sparen?
Richtig. Das kannst du in diesem Falle tun, eben WEIL sie sich nur berühren und nicht schneiden (sonst müsstest du nämlich die Beträge von Teilfächen "oberhalb" und "unterhalb" separat berechnen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Oh Gott, kann mir nochmal kurz wer auf die Sprünge helfen, was ich jetzt machen muss.
Ich habe 2 Funktionen und muss die ja jetzt irgdnwie so hinkriegen, dass ich die zusammenfüge und in die Integralgrenzen kriege. Gleichzeitig muss ich ja beachten,dass ich die eingeschlossene Fläche berechne und nichct die mit der X-Achse geschlossene. Da musste man doch iregndwie was als Differenz abziehen oder?
Habe in meinem Buch leider zu diesem Fall nix finden können und brauche nur son Leitfaden. Dann versuche ich es erstmal allein.
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo!
Theoretisch kannst du den Flächeninhalt zwischen jeder der Funktionen und der x-Achse berechnen, und die ergebnisse voneinander abziehen.
Aber weil [mm] $\int f(x)dx-\int g(x)dx=\int [/mm] (f(x)-g(x))dx$ gilt, kannst du auch einfach die beiden Funktionen voneinander abziehen, und das dann integrieren.
Da es keine Überscheidungen, sondern lediglich Berührungen der beiden Funktionen gibt, integrierst du gleich von unterer bis oberer Grenze.
Ich sehe grade, da ist zwischendurch was durcheinander geraten:
Lautet die Funktion [mm] 1+\sin(2x) [/mm] , so berühren sich die Funktionen tatsächlich nur.
Aber am Anfang schreibst du [mm] 1+2\sin(x) [/mm] , und dann hast du zwei echte Schnittpunkte, weshalb dein Integral in drei Teilintegrale zerfällt, wenn du die Fläche berechnen willst!
|
|
|
| |
|
Es lautet 2 sinx.
Also die schwierige Variante...
Also doch als 1.Schnittpunkte berechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 21.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, du brauchst erst die Nullstellen. und bitte mach das im Bogenmass ! also erste Nullstelle bei [mm] x=\pi/6. [/mm] und nicht mit Grad! die sin- Funktion ist eine fkt von Zahlen, nicht von "Graden"
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich danke euch allen für eure Hilfe. Aber die Aufgabe bekomme ich einfach nicht hin. Und da ich noch viel vor mit habe, werde ich die jetzt einfach lassen, da ich da einfach keinen Draht zu kriege und mir das ganz einfach nicht vorstellen kann. Werde mir vielleicht noch wen suchen, der mir das einfach aufschreibt, damit ich es dann mit in die Prüfung nehmen kann und einfach vielleicht den ein oder anderen Schritt kopieren kann und so wenigstens ein paar wenige Punkte kriege.
Aber vielen Dank für eure Bemühungen.
|
|
|
| |
|
Es ging hier jetzt ja alles etwas durcheinander. Bei dieser Aufgabe muss ich doch sowohl die Nullstellen,als auch die Schnittpunkte berechnen oder? Denn ich brauche die Flächen all dieser Teile, um sie dann später voneinander passend zu addieren und subtrahieren. Damit dann nur die gesuchte Fläche überbleibt.Richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo, du berechnest zunächst durch Gleichsetzen 1+2*sin(x)=2 die Schnittstellen im Intervall, [mm] X_1=\bruch{1}{6}\pi, x_2=\bruch{5}{6}\pi, x_3=\bruch{13}{6}\pi, [/mm] wobei [mm] x_3 [/mm] nicht mehr im Intervall liegt, es ergeben sich zwei Teilflächen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \integral_{\bruch{1}{6}\pi}^{\bruch{5}{6}\pi}{1+2*sin(x)-2 dx}+\integral_{\bruch{5}{6}\pi}^{2\pi}{2-(1+2*sin(x)) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{1}{6}\pi}^{\bruch{5}{6}\pi}{2*sin(x)-1 dx}+\integral_{\bruch{5}{6}\pi}^{2\pi}{-2*sin(x)+1 dx}
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo!
kleiner, aber feiner Fehler: Da steht [mm] 1+2*\sin(x) [/mm] , nicht [mm] 1+\sin(2*x) [/mm] in der Aufgabenstellung. Und damit schneiden sich die Kurven tatsächlich richtig, und berühren sich nicht nur.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Zwei kleine Anmerkungen habe ich für dich.
Sowas wie [mm] \sin(30^\circ)=0,5 [/mm] kannst du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachschlagen. Es wäre schon praktisch, wenn du die Werte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° für SIN und COS kennst. Mach dir dazu aber auch eine Skizze der Graphen, das macht das ganze einfacher, und du siehst auch sofort, wie dann wohl der Wert für 135° ist.
Denk aber auch dran, wenn dein taschenrechner dir für [mm] \sin(x)=0.5 [/mm] die Lösung 30° gibt, ist das nur die halbe Wahrheit.
Die Funktion sieht nämlich so aus:
1 ++----+----+--*******--+----+-----+-----+----+-----+-----+----+----++
+ + +** + *** + + + + + sin(x) ****** +
0.8 ++ : ** : *** : : : : : 0.5 ######++
| : ** : : : ** : : : : : + + |
0.6 ++ :** : : : *: : : : : : : ++
#####**#####################**#######################################
0.4 ++ **: : : : : * : : : : : : ++
| * : : : : : ** : : : : : : |
0.2 ++* : : : : : * : : : : : : ++
|* : : : : : *: : : : : : |
0 *+....:....:.....:.....:....:.....*.....:....:.....:.....:....:....+*
| : : : : : :* : : : : : *|
-0.2 ++ : : : : : : * : : : : : *++
| : : : : : : ** : : : : : * |
-0.4 ++ : : : : : : * : : : : :** ++
| : : : : : : ** : : : ** |
-0.6 ++ : : : : : : :* : : : **: ++
| : : : : : : : ** : : : ** : |
-0.8 ++ : : : : : : : *** : ** : ++
+ + + + + + + + *** + **+ + +
-1 ++----+----+-----+-----+----+-----+-----+----+--*******--+----+----++
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Es gibt spiegelbildlich zu 90° nämlich noch eine weitere Lösung bei 150°.
Zu der Sache mit dem "Sinus umformen" solltest du an einen anderen Fall denken:
[mm] \sqrt{x}=3
[/mm]
Du kannst das x hier auch nicht einfach von dem [mm] $\sqrt{\, }$ [/mm] trennen. Stattdessen mußt du die Umkehrfunktion der Wurzel anwenden, das wäre das Quadrieren:
[mm] x=3^2=9
[/mm]
Genauso mußt du bei [mm] \sin{x}=1 [/mm] auch die Umkehrfunktion anwenden, das ist in dem Fall der Arcussinus:
[mm] \arcsin(\sin{x})=\arcsin{1}
[/mm]
[mm] x=\arcsin{1}
[/mm]
Beim Taschenrechner heißt die Funktion auch gerne [mm] \sin^{-1}(x) [/mm] , aber das -1 heißt hier NICHT, daß das [mm] \frac{1}{\sin(x)} [/mm] ist.
Übrigens kennst du auch bei der Wurzel nicht alle Werte, sondern nur die von Quadratzahlen. Sprich, du kennst den Wert von [mm] \sqrt{81} [/mm] , aber für [mm] \sqrt{82} [/mm] wirst du zum Taschenrechner greifen. Bei den trig. Funktionen sind auch nur einige wenige Funktionswerte "einfach" bekannt.
|
|
|
|
