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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Sa 09.04.2005 | | Autor: | VeilSide |
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe.
Gegeben sind die Funktionen [mm] ax^{3} [/mm] + cx
Die Graphen verlaufen durch die Punkte [mm] P_{1}(1;1) [/mm] und [mm] P_{2}(v;0) [/mm] (v > 1).
Die Graphen begrenzen mit der x-Achse eine Fläche im 1. Quadranten.
Gesucht ist der Wert v, für den diese Fläche minimal wird, und die minimale Fäche.
Über den [mm] P_{1} [/mm] habe ich c = 1 - a ermittelt und eingesetzt. So konnte ich die Nullstelle für den 1. Quadranten auf [mm] \wurzel{\bruch{a-1}{a}} (\hat= [/mm] v) bestimmen.
Für die Flächenberechnung habe ich diese als obere Grenze verwendet und erhalte als Fläche [mm] \bruch{a^{2} - 2a + 1}{4a}.
[/mm]
Nun ist mir aber unklar, wie ich von hier aus das Minima bestimmen muss.
Ich hoffe jemand von Euch hat eine Idee ;)
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, VeilSide,
> Gegeben sind die Funktionen [mm]ax^{3}[/mm] + cx
> Die Graphen verlaufen durch die Punkte [mm]P_{1}(1;1)[/mm] und
> [mm]P_{2}(v;0)[/mm] (v > 1).
> Die Graphen begrenzen mit der x-Achse eine Fläche im 1.
> Quadranten.
> Gesucht ist der Wert v, für den diese Fläche minimal wird,
> und die minimale Fäche.
>
> Über den [mm]P_{1}[/mm] habe ich c = 1 - a ermittelt und eingesetzt.
> So konnte ich die Nullstelle für den 1. Quadranten auf
> [mm]\wurzel{\bruch{a-1}{a}} (\hat=[/mm] v) bestimmen.
Dazu muss man noch ergänzen, dass der Radikand positiv sein muss, daher a < 0 oder a > 1 ist. Wenn es nun die oben beschriebene Fläche im 1. Quadranten geben soll, kommt nur a < 0 in Frage!
> Für die Flächenberechnung habe ich diese als obere Grenze
> verwendet und erhalte als Fläche [mm]\bruch{a^{2} - 2a + 1}{4a}.[/mm]
Da muss Dir ein Vorzeichenfehler passiert sein; richtig wäre:
[mm] -\bruch{a^{2} - 2a + 1}{4a}
[/mm]
> Nun ist mir aber unklar, wie ich von hier aus das Minima
> bestimmen muss.
Bitte! Nicht "das Minima", sondern "das Minimum":
Minima ist der Plural von Minimum!
Vor allem aber:
Du sollst doch kein a ausrechnen, sondern v! Da wäre es sicher besser gewesen, gleich die Obergrenze v einzusetzen, denn so wie er jetzt dasteht ist Dein Term etwas schwer umzuformen!
Also: Berechne das Integral nochmals mit v als Obergrenze und ersetze auch das verbleibende a durch v!
Anschließend erhältst Du eine Funktion in der Variablen v. Diese leitest Du wie gewohnt ab (aber eben nach v!) und setzt die Ableitung =0. Usw., usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, VeilSide,
hab's schnell mal durchgerechnet und erhalte (ohne Garantie!):
v = [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Sa 09.04.2005 | | Autor: | VeilSide |
"Also: Berechne das Integral nochmals mit v als Obergrenze und ersetze auch das verbleibende a durch v!"
Ich kann doch nicht einfach das a mit v gleichsetzen?!
Und ja, die Flaechengleichung ist negativ, da man aber den Betrag nimmt, hab ich das weggelassen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 So 10.04.2005 | | Autor: | leduart |
> "Also: Berechne das Integral nochmals mit v als Obergrenze
> und ersetze auch das verbleibende a durch v!"
>
> Ich kann doch nicht einfach das a mit v gleichsetzen?!
> Und ja, die Flaechengleichung ist negativ, da man aber den
> Betrag nimmt, hab ich das weggelassen..
Also du sollst ja nicht a=v setzen, sondern a durch v ausdrücken. Du hättest besser gleich von Anfang an a und c bestimmen sollen. Dann hast du
[mm] y=\bruch {1}{1-v^{2}}*x^{3}-\bruch {v^{2}}{1-v^{2}}*x
[/mm]
Davon hast du die Nullstellen 0 und v schon richtig berechnet und musst also von 0 bis v integrieren um den Flächeninhalt zu finden!
Alles klar?
Und da du a bzw v ja nicht kennst kannst du nicht einfach das Vorzeichen weglassen wenn du den Betrag nimmst! z.Bsp -(a-b) davon der Betrag ist nicht unbedingt (a-b) wenn a neg,b pos oder beide positiv aber b>a ist das Weglassen des Vorzeichens falsch! Spielt ja aber jetzt keine Rolle mehr!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 So 10.04.2005 | | Autor: | VeilSide |
Vielen Dank für Eure Antworten.
Ich konnte die Schritte jetzt nachvollziehen und komme ebenfalls auf [mm] \wurzel{2} [/mm] =)
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