Flächenberechnung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sind vier in einer Ebene liegende Punkte gegeben A(3;0;-1), B(4;-1;-2), C(-1;3;1) und D(-4;6;4).
Ermitteln Sie die Strecke CD. Auf der Geraden durch die Punkte C und D existiert ein Punkt [mm] C_1, [/mm] so dass das Trapez [mm] ABC_1 [/mm] D den doppelten Flächeninhalt wie das Trapez ABCD hat. Berechnen Sie den Punkt [mm] C_1
[/mm]
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In Aufgabe a wurde bewiesen, dass das ABCD ein Trapez ist (Strecke AB ist parallel CD, die Strecken AD und BC sind es nicht).
CD= [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
Betrag CD= [mm] \wurzel{(-3)^2 + 3^2 + 3^2 } [/mm] = [mm] \wurzel{27} [/mm] L.E.
A=m*h (Trapez) und m= [mm] \bruch{a+c}{2} [/mm]
A= [mm] \bruch{a+c}{2} [/mm] *h <=> c= [mm] \bruch{2A}{h} [/mm] -a
für [mm] C_1 [/mm] soll A doppelt so groß sein, also 2*A eingesetzt in
c= [mm] \bruch{4A}{h} [/mm] -a <=> [mm] \bruch{4mh}{h} [/mm] -a <=> 4m-a
c=4m-a ;
c ist der Betrag der Strecke CD und a der der Strecke AB
also AD=a= [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Betrag= [mm] \wurzel{3} [/mm] L.E.
und c siehe oben, dann fehlt noch m aus:
c=2m-a <=> m= [mm] \bruch{c}{2} [/mm] +a = [mm] \bruch{\wurzel{27}}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] \wurzel{18,75} [/mm] L.E.
und jetzt für den doppelten Flächeninhalt:
[mm] c_1=4m-a [/mm] = [mm] 4*\wurzel{18,75} [/mm] - [mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] \wurzel{243} [/mm] L.E.
Der Betrag von: u [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] sollte nur noch die Länge [mm] \wurzel{243} [/mm] L.E. haben.
= [mm] \wurzel{v^2 * ((-3)^2 + 3^2 + 3^2} [/mm] = v* [mm] \wurzel{27} [/mm] = [mm] \wurzel{243} [/mm]
v=+/- 3
Dies eingesetzt in DC (wegen der Richtung) = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + 3 [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}
[/mm]
ergibt für [mm] C_1 [/mm] (5;-3;-5).
Stimmt das? Ich hoffe, dass vor allem der Part mit dem Formelumstellungen richtig war. Danke schonmal im vorraus. LG Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 04.03.2008 | | Autor: | Veronika87 |
Hallo,
du hast einen kleinen Fehler beim umformen gemacht. und zwar an der stelle: c=2m-a <=> m=c/2-a muss es heißen m=(c-a)/2 rechne doch ab der stelle noch mal das Ergebniss aus.
Viel Erfolg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 04.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
Danke erstmal für die Korrektur.
Habe es mit m=(c-a)/2 probiert, dann kommt aber für [mm] c_1 [/mm] , v=1 raus. Das wäre aber die ursprüngliche Gerade DC!
Die Formel m= [mm] \bruch{a+c}{2} [/mm] war schon in der Flächenformel gegeben hab ich jetzt gesehen, mit dieser kommt dann für [mm] c_1 [/mm] = [mm] \wurzel{147} [/mm] raus
und für v= +/-2 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus. Ich werde jetzt nochmal alles rechnen und die Höhe h dabei bestimmen. Damit müßte es dann aber stimmen.
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