Flächenberechnung-Parameterd. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne die Fläche, welche von der Kurve mit der Paramterdarstellung:
x(t) = sin(2t)
y(t) = sin(3t)
eingeschlossen wird.
0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \pi
[/mm]
Hinweis:
cos (2t) = [mm] 1-sin(t)^2
[/mm]
sin (2t) = 2*sin(t)*cos(t)
cos(3t) = -3cos(t) + [mm] 4cos(t)^3
[/mm]
sin(3t) = 3 sin(t) - 4 [mm] sin(t)^3 [/mm] |
Ja hallo erstmal :)
Ich habe den Rechenweg vor mir liegen und das ist auch alles soweit klar.
Außer der Ansatz:
F = [mm] \integral_{0}^{\pi}{y(t)*x'(t) dx}
[/mm]
Ich habe jetzt schon in 3 Büchern nach der Lösung dieses Problems gesucht. Entweder es ist ne schwierige Aufgabe oder ich bin einfach nur blöd.
Kennt jemand die Antwort, warum: y(t)*x'(t) ???
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Hallo Chelydrae,
> Man berechne die Fläche, welche von der Kurve mit der
> Paramterdarstellung:
>
> x(t) = sin(2t)
> y(t) = sin(3t)
>
> eingeschlossen wird.
>
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le \pi[/mm]
>
> Hinweis:
>
> cos (2t) = [mm]1-sin(t)^2[/mm]
> sin (2t) = 2*sin(t)*cos(t)
> cos(3t) = -3cos(t) + [mm]4cos(t)^3[/mm]
> sin(3t) = 3 sin(t) - 4 [mm]sin(t)^3[/mm]
> Ja hallo erstmal :)
>
> Ich habe den Rechenweg vor mir liegen und das ist auch
> alles soweit klar.
>
> Außer der Ansatz:
>
> F = [mm]\integral_{0}^{\pi}{y(t)*x'(t) dx}[/mm]
>
> Ich habe jetzt schon in 3 Büchern nach der Lösung dieses
> Problems gesucht. Entweder es ist ne schwierige Aufgabe
> oder ich bin einfach nur blöd.
>
> Kennt jemand die Antwort, warum: y(t)*x'(t) ???
Die Flächenberechnung geht ja so:
[mm]\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{y \ dx}[/mm]
Da jetzt aber
[mm]y=y\left(t\right), \ x=x\left(t\right)[/mm]
Dann ist zunächst [mm]dx= x'\left(t\right)\ dt[/mm]
Dies eingesetzt ergibt:
[mm]\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{y\left(t\right)*x'\left)t\right) \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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