Flächen zwischen zwei Graphen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 29.01.2005 | | Autor: | HaPe |
Also so geht die Aufgabe:
Die Graphen der Funktionen $ [mm] f_a [/mm] $ mit $ [mm] f_a [/mm] (x) = a * sin(x) $ und $ [mm] g_a [/mm] $ mit $ [mm] g_a [/mm] (x) = - [mm] \bruch{1}{a} \* [/mm] sin(x) $ begrenzen für $ x [mm] \in [/mm] [0; [mm] \pi] [/mm] $ eine Fläche. Für welche Werte von a ist der Flächeninhalt minimal? Geben Sie den minimalen Inhalt an.
So und ich weiss jetzt zum einen nicht was hier mit minimaler Fläche gemeint ist (die kleinstmögliche vielleicht?) und zum anderen hab ich Probleme die Stammfunktion für f(x) und g(x) zu bilden.
Ich hab da für die Stammfunktion das raus:
$ f(x) = a *sin(x) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ F(x) = -ax [mm] \*cos(x) [/mm] $
$ g(x) = [mm] -\bruch{1}{a} \*sin(x) [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ G(x) = [mm] \bruch{1}{ax} \*cos(x) [/mm] $
Stimmt das so? Danke schon mal im voraus! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> Also so geht die Aufgabe:
> Die Graphen der Funktionen [mm]f_a[/mm] mit [mm]f_a (x) = a * sin(x)[/mm]
> und [mm]g_a[/mm] mit [mm]g_a (x) = - \bruch{1}{a} \* sin(x)[/mm] begrenzen
> für [mm]x \in [0; \pi][/mm] eine Fläche. Für welche Werte von a ist
> der Flächeninhalt minimal? Geben Sie den minimalen Inhalt
> an.
>
>
> So und ich weiss jetzt zum einen nicht was hier mit
> minimaler Fläche gemeint ist (die kleinstmögliche
> vielleicht?) und zum anderen hab ich Probleme die
> Stammfunktion für f(x) und g(x) zu bilden.
> Ich hab da für die Stammfunktion das raus:
> [mm]f(x) = a *sin(x)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]F(x) = -ax \*cos(x)[/mm]
> [mm]g(x) = -\bruch{1}{a} \*sin(x)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]G(x) = \bruch{1}{ax} \*cos(x)[/mm]
>
> Stimmt das so? Danke schon mal im voraus! Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
>
Hallo HaPe,
also kurz Hinweis auf eine kleine Begrüßung bei folgenden Artikeln.
So nun zu deiner Frage, also du hast Recht, der kleinstmögliche Flächeninhalt ist gesucht.
Deine Stammfunktionen stimmen leider nicht, denn das $a$ ist keine additive konstante sondern ein Multiplikator.
Kurzes Beispiel: $f(x)=a+x [mm] \rightarrow F(x)=ax+\bruch{1}{2}x^2$ [/mm] , aber $g(x)=ax [mm] \rightarrow G(x)=\bruch{a}{2}x^2$
[/mm]
Wenn du das berücksichtigst sollte es kein Problem geben. Noch eine Kleinigkeit die dir vielleicht hilft, die eingeschlossene
Fläche ist gleich dem Betrag des Integrals der Differenzfunktion.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 29.01.2005 | | Autor: | HaPe |
Hallo nochmal
Also ich hab das nochmal mit den Stammfunktionen überarbeitet und nach der Produktregel hätte ich dann das raus:
[mm] F(x) = - a \* cos(x) [/mm]
[mm] G(x) = \bruch{1}{a} cos(x) [/mm]
Stimmt´s jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Sa 29.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo nochmal
> Also ich hab das nochmal mit den Stammfunktionen
> überarbeitet und nach der Produktregel hätte ich dann das
> raus:
>
> [mm]F(x) = - a \cos(x)[/mm]
> [mm]G(x) = \bruch{1}{a} \cos(x)[/mm]
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> Stimmt´s jetzt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Sa 29.01.2005 | | Autor: | HaPe |
Ich glaub ich hab´s jetzt raus.
[mm] A(a) = \integral_{0}^{ \pi} {a \* sin(x) + \bruch{1}{a} \* sin(x)dx} = 2a + \bruch{2}{a} [/mm]
[mm] A'(a) = 2 - \bruch{2}{a} = 0 [/mm] für [mm] a_{1} = 1; a_{2} = -1 [/mm]
Demnach ist [mm] A(1) = 4 [/mm] sowie [mm] A(-1) = 4 [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] 4 ist die kleinstmögliche Fläche!
Vielen Dank für die Hilfe! Falls was falsch sein sollte oder fehlen sollte, bitte berichtigen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 30.01.2005 | | Autor: | HaPe |
Hallo Informix,
danke für die Berichtigung! Jetzt hab ich die Aufgabe komplett. :)
Gruß HaPe
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
für [mm]a_{1} = 1; a_{2} = -1[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
