Fläche zwischen Fkt.+Kreis < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ghl |
| Aufgabe | | In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Graph G der Funktion [mm] f(x)=0,5x^{2} [/mm] sowie der Kreis k mit dem Mittelpunkt M(0|2) und dem Radius der Maßzahl 2 gegeben. Der Graph G und der Kreis k begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Fläche. |
Hallo erst einmal,
ich war erschrocken, als ich diese auf den ersten Blick schaffbare Aufgabe genauer ansah. Sie ist eine Wahlpflichtaufgabe aus dem Matheabitur in LSA gewesen. Ich hab das erst einmal gezeichnet und die Fläche markiert. Der Graph müsste ja obere, der Kreis untere Funktion sein.
Den Kreisgraphen in diesem Bereich habe ich durch Aufstellen der Kreisgleichung aus der Geometrie (ich muss zugeben, ich habe noch niemals in der Analysis mit Kreisen gerechnet und diese Aufgabe stand unter dem Thema Analysis) und entsprechendes Auflösen nach y gemäß Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten. Es ergab sich:
[mm] k(x)=2-\wurzel{4-x^{2}}
[/mm]
Aber wie bitte soll ich diese Funktion integrieren??? Kann man da substituieren? Ich muss dazusagen, dass wir Integration durch Substitution nicht behandelt haben, ich aber ein ganz klein wenig Bescheid weiß darüber. Wir haben immer nur mit linearer innerer Fkt. gearbeitet. Aber normalerweise müsste es allein deshalb auch anders zu integrieren gehen.
Ich hab auch mal die Keplersche Fassregel probiert, das ist aber viel zu ungenau. Mein Analysisprogramm zeigt einen Flächeninhalt von A=0,86 FE an. Aber bitte helft mir, darauf zu kommen.
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Hallo!
Dieses Integral ist wirklich böse, auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia steht der Lösungsweg dazu. Dieses Integral ist für die Schule zu schwer.
Ich sehe diesen viel einfacheren Weg: Den Viertelkreis kannst du ja auch ohne Integrale berechnen. Dann integrierst du die Parabel über [0;2], das ist jedoch die Fläche unter der Parabel. Allerdings kannst du damit die Fläche oberhalb der Parabel bis y=2 ja berechnen, und genau dieses Stück mußt du von dem Viertelkreis abziehen.
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