Fläche zwischen 2 Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Wie groß ist die Fläche, die zwischen den Graphen von f und g begrenzt wird?
[mm] f(x)=x^{3}
[/mm]
g(x)= x+1
I=[-1;1] |
Guten Morgen zusammen!
Also eigentlich habe ich alles verstanden, nur ich bin mir bei meinem Ergebnis unsicher.
[mm] A=\integral_{-1}^{1}{x+1 dx}-\integral_{-1}^{0}{x^{3}dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{-1}{x^{3} dx}
[/mm]
= (0,5 * [mm] 1^{2}+1-(0,5*(-1)^{2}-1)) [/mm] - [mm] (0-\bruch{1}{4}*(-1)^{4}) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{4}*(-1)^{4}-0) [/mm]
= 1,5+0,5
=2
So meine Frage ist jez eigetnlich nur ob das richtig? weil eiegtnlich hätte ich ja mit f(x) anfangen müssen, hab aber mit g(x) abgefangen, weil wenn ich das anders rimmache kommt 0 heraus und das kann ja nicht sein, oder?
Wär sehr nett wenn mir da jemand weiterhlefen könnte^^
Gruß Karlchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 18.11.2006 | | Autor: | chmul |
Hallo Karlchen,
> Wie groß ist die Fläche, die zwischen den Graphen von f und
> g begrenzt wird?
>
> [mm]f(x)=x^{3}[/mm]
> g(x)= x+1
> I=[-1;1]
> Guten Morgen zusammen!
>
> Also eigentlich habe ich alles verstanden, nur ich bin mir
> bei meinem Ergebnis unsicher.
>
> [mm]A=\integral_{-1}^{1}{x+1 dx}-\integral_{-1}^{0}{x^{3}dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{-1}{x^{3} dx}[/mm]
> = (0,5 *
> [mm]1^{2}+1-(0,5*(-1)^{2}-1))[/mm] - [mm](0-\bruch{1}{4}*(-1)^{4})[/mm] -
> [mm](\bruch{1}{4}*(-1)^{4}-0)[/mm]
> = 1,5+0,5
> =2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ergebnis ist schon mal richtig!
> So meine Frage ist jez eigetnlich nur ob das richtig? weil
> eiegtnlich hätte ich ja mit f(x) anfangen müssen, hab aber
> mit g(x) abgefangen, weil wenn ich das anders rimmache
> kommt 0 heraus und das kann ja nicht sein, oder?
Also, das Problem ist, dass du wenn du einen Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnen willst, du dich erst einmal vergewissern musst, ob sich die Funktionen in dem gegebenen Intervall schneiden.
Falls Ja, musst du das Integral aufteilen, so dass du positive Flächen erhältst. Denn unter Umständen kann es passieren, dass du einen viel kleineren oder sogar negativen "Flächeninhalt" bekommst, als er in Wirklichkeit ist.
Bei dieser Aufgabe gibt es allerdings keinen Schnittpunkt in dem gegebenem Intervall. Bleibt also nur zu Überprüfen, welcher Graph über dem anderen liegt:
Da [mm]x^3\not=x+1 [/mm] für alle [mm]x \in [-1;1] [/mm] langt es, mit einem x-Wert zu Überprüfen, welcher Graph "höher" liegt:
Sei [mm] x=0 \Rightarrow g(0)=1 > 0=f(0) [/mm]
Also liegt g(x) "höher".
Daraus folgt nun für unser Integral:
[mm] \integral_{-1}^{1}{g(x)-f(x) dx}=\integral_{-1}^{1}{x+1-x^3 dx}=[-\bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{2}x^2+x]_{-1}^{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}1^4+\bruch{1}{2}1^2+1-(-\bruch{1}{4}(-1)^4+\bruch{1}{2}(-1)^2+(-1))=2
[/mm]
Wie du siehst musst du dein Integral in diesem Fall gar nicht aufteilen, da du die Stammfunktion von g(x)-f(x) ja ohne weiteres bilden kannst.
> Wär sehr nett wenn mir da jemand weiterhlefen könnte^^
Ich hoffe ich konnte dir helfen  .
MfG
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Karlchen |
Ohja...rechtherzlichen Dank, hab wieder was dazu gelernt^^
|
|
|
|
