Fläche zwischen 2 Funktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Do 23.02.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Man ermittle den Flächeninhalt des von den folgenden Kurven begrenzten Flächenstückes: [mm] y^2=4x, [/mm] y=2x-4 |
Hallo Zusammen!
Folgende Frage zu o. g. Aufgabe:
Wenn ich die Funktion [mm] y^2=4x [/mm] auf y= umforme, erhalte ich [mm] y=+-\wurzel{4x} [/mm] !
Wenn ich nun das Integral der Funktion [mm] y=+\wurzel{4x} [/mm] - Integral y=2x-4 rechne, bekomme ich doch die falsche Fläche heraus, oder??
Bitte um eure Hilfestellung!
Vielen Dank!
Mfg
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> Man ermittle den Flächeninhalt des von den folgenden
> Kurven begrenzten Flächenstückes: [mm]y^2=4x,[/mm] y=2x-4
> Wenn ich die Funktion [mm]y^2=4x[/mm] auf y= umforme, erhalte ich
> [mm]y=+-\wurzel{4x}[/mm] !
>
> Wenn ich nun das Integral der Funktion [mm]y=+\wurzel{4x}[/mm] -
> Integral y=2x-4 rechne, bekomme ich doch die falsche
> Fläche heraus, oder??
Hallo Mike,
wenn du dich nicht mit den Wurzelfunktionen herum-
schlagen magst, könntest du einfach die Bezeichnungen
x und y vertauschen. Der gesuchte Flächeninhalt bleibt
bei dieser Transformation erhalten !
LG Al-Chw.
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Hallo,
hast du dir das mal gezeichnet? Das Schaubild von
[mm] y^2=4x
[/mm]
ist ja eine liegende Parabel. Wenn du das ganz gewöhnlich, also durch Integration nach x, lösen möchtest, so wird das viel aufwändiger. Du musst dann für beide Zweige der Parabel jeweils die Fläche berechnen, die sie mit der x-Achse und der Geraden einschließt. Das ist im Prinzip jedesmal eine Rechnung der Form Integral-Dreiecksfläche.
Einfacher ginge es, wenn du durch Umkehren beider Funktionen das ganze Problem an der ersten Winkelhalbierenden spiegelst. Dann könntest du - mit den Umkehrfunktionen - nach der Logik 'Oberkurve - Unterkurve' die Fläche durch ein einfaches bestimmtes Integral berechnen.
In beiden Fällen benötigst du außerdem noch die Schnittpunkte der beiden Graphen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 23.02.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Danke für deine rasche Antwort!
Den Graphen der Funktion [mm] y^2=4x [/mm] habe ich schon vorher gezeichnet - eine liegende Parabell - soweit so gut! Wenn ich diese Funktion nun umkehre (lt. meinem Verständniss so, dass die Parabell nach oben ofen ist) hätte diese die Funktion: [mm] y=x^2/4. [/mm] Stimmt das??
Und wie würde die zweite UMGEKEHRTE Funktion dan lauten??
DANKE!
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Hallo,
das Umkehren finktioniert genau so, wie Al-Chwarizmi geschrieben hat: es werden x und y vertauscht, und dann wird wieder nach y aufgelöst. Also:
[mm] 4y=x^2 [/mm] <=> [mm] y=\bruch{1}{4}x^2
[/mm]
x=2y-4 <=> [mm] y=\bruch{1}{2}x+2
[/mm]
Und für diese zwei Funktionen berechnest du jetzt einfach den Inhalt der Fläche, die sie einschließen. Das war dann genau der Trick 77 von Al-Chwarizmi: durch das Umkehren der Funktionen hast du - wie schon geschrieben - das Problem im Koordinatensystem an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt. Dabei bleibt natürlich die eingeschlossene Fläche gleich groß.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Do 23.02.2012 | | Autor: | mike1988 |
Spitze, ich glaub, jetz hab ich es!
Habe nun: [mm] \integral_{-2}^{4}{(x/2)+2 dx}-\integral_{-2}^{4}{(x^2/4) dx}
[/mm]
Ergibt bei mir A = 9 FE!
Ist das Ergebniss korrekt??
Danke nochmals, Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Spitze, ich glaub, jetz hab ich es!
>
> Habe nun: [mm]\integral_{-2}^{4}{(x/2)+2 dx}-\integral_{-2}^{4}{(x^2/4) dx}[/mm]
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> Ergibt bei mir A = 9 FE!
>
> Ist das Ergebniss korrekt??
Ja
FRED
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> Danke nochmals, Lg
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