Fläche soll maximal werden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Helft mir bitte bei folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion: f(x)=-2x*ln(x), 0<x<=1
Wie muss der Punkt P (befindet sich auf der Funktion f) des Graphen von f gewählt werden, damit der Inhalt des Dreiecks maximal wird. (Das Dreieck geht von Punkt P senkrecht auf die X-Achse und von P zum Ursprung. Dabei wird es auch von der X-Achse begrenzt)
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Do 02.12.2004 | | Autor: | emma |
Vielleicht helfen dir die Strahlensätze weiter. Ich kann dir zwar bei der konkreten aufgabe nicht helfen, da ich die Funktion nicht lösen kann, aber die Strahlensätze waren bei unsere Dreiecksaufgaben immer gefragt. Tut mir leid das ich dir nicht mehr helfen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 02.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathefreak,
was suchen wir? Die Fläche eines Dreieckes.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck kennen wir doch die Formel:
$A = [mm] \bruch{a * b}{2}$
[/mm]
Nun fehlen uns noch die Größen a und b.
Die eine Strecke kennen wir doch, weil hier genau die gesuchte Stelle x liegt. Die andere - darauf senkrechte - Seite hat doch genau die Länge y = f(x).
Wir erhalten nun als Funktion in Abhängigkeit von unserer gesuchten Größe x:
$A(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x * y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x * f(x)$
$A(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x * (-2x) * ln(x) = - [mm] x^2 [/mm] * ln(x)$
Für diese Funktion musst Du nun eine Extremwertberechnung durchführen ...
Nun alles klar?
Grüße Loddar
(Da ist mir doch zuerst ein Minuszeichen durchgerutscht. Tst-tst-tst ...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 02.12.2004 | | Autor: | JanSu |
Der im vorangehenden Beitrag erwähnte Ansatz ist richtig.
Weitere Ergebnisse:
A'(x) = -2*x*ln x - x;
Aus A'(x) = 0 folgt [mm] x_{1}= e^{-0,5} [/mm] (kein Nachweis);
Die max. Fläche ist dann:
[mm] A(e^{-0,5})= \bruch {1}{2}e^{-1}
[/mm]
Alle Angaben sind ohne Gewähr.
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