Fläche im Raum - Krümmungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:55 Do 22.06.2006 | | Autor: | rainer9 |
| Aufgabe | | Gegeben eine Raumfläche 2xy-z+3 = 0 im [mm] \IR^{3}. [/mm] Finde die maximale und minimale Krümmung in der Orientierung der aufwärts zeigenden Normalen am Punkt, an dem die Fläche die z-Achse schneidet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Schnittpunkt mit der z-Achse ist bei z=3. Da ich nur eine Gleichung zur Bestimmung der ersten Fundamentalform für parametrische Funktionen habe, finde ich aber keinen Ansatz zur Lösung der Aufgabe. Auf welche Weise kann ich die erste und zweite Fundamentalform für die obige Gleichung bestimmen?
|
|
| |
|
Hallo rainer,
naja, von deiner darstellung auf eine parametrische darstellung zu kommen ist in diesem konkreten fall ja nicht so schwierig....
Umstellen nach $z$ liefert eine darstellung als graph, und der schritt zu einer parametrisierung ist dann nur noch klein!
anschließend musst du wohl die erste und zweite fundamentalform im punkt (0,0,3) berechnen und die eigenwerte der Weingartenabbildung. Für einen kurzen Abriss des ganzen kannst du zb ![[]](/images/popup.gif) hier nachschauen.
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Do 22.06.2006 | | Autor: | rainer9 |
Ich wuerde also so parametrisieren:
x=u
y=v
z=2xy+3
Fuer die erste Fundamentalform wuerde ich dann folgendes rechnen:
n(u,v) = Xu [mm] \times [/mm] Xv / |Xu [mm] \times [/mm] Xv| = (1,0,0) [mm] \times [/mm] (0,1,0) / |(1,0,0) [mm] \times [/mm] (0,1,0)| = (0,0,1)/|(0,0,1)| = (0,0,1)
L(u,v) = n(u,v)*Xuu = (0,0,1)*(0,0,0) ....
das kommt mir etwas komisch vor (alles 0): Ist der Ansatz so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich wuerde also so parametrisieren:
> x=u
> y=v
> z=2xy+3
fast richtig: z=2uv+3.
> Fuer die erste Fundamentalform wuerde ich dann folgendes
> rechnen:
> n(u,v) = Xu [mm]\times[/mm] Xv / |Xu [mm]\times[/mm] Xv| = (1,0,0) [mm]\times[/mm]
> (0,1,0) / |(1,0,0) [mm]\times[/mm] (0,1,0)| = (0,0,1)/|(0,0,1)| =
> (0,0,1)
>
> L(u,v) = n(u,v)*Xuu = (0,0,1)*(0,0,0) ....
> das kommt mir etwas komisch vor (alles 0): Ist der Ansatz
> so richtig?
der ansatz, ja, aber die rechnung nicht (s.o).. Die Parametrisierung $X$ hat also die Form
[mm] $X(u,v)=\vektor{u\\v\\2uv+3}$
[/mm]
Jetzt kannst du die Ableitungen entsprechend berechnen, zB.
[mm] $X_u(u,v)=\vektor{1\\0\\2v}$.
[/mm]
Ich denke, an manchen Stellen sollte schon etwas anderes als 0 herauskommen.... 
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Do 22.06.2006 | | Autor: | rainer9 |
Danke!
|
|
|
|
