Fläche, die größer oder gleich < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf dem Intervall [0,1] werden unabhängig voneinander zufällig zwei Punkte x,y ausgewählt. Anschließend wird ein Quadrat mit der Kantenlänge |x-y| gebildet. Geben Sie in einem Modell die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis an:
"Das Quadrat besitzt eine Fläche, die größer oder gleich 1/9 ist." |
Ich möchte so vorgehen:
Zuerst wähle ich eine neue ZV Z= X * Y
Dann laut Aufgabestelleung muss P(Z>=1/9) berechnen.
Stimmt? Dann weiter:
X und Y sind nach meiner Meinung gleichverteilt. Daher ist Z auch gleichverteilt. Stimmt?
Ist Fläche >=1/9 nur dann, wenn die Kantenlänge mindestens 1/9 ist?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Di 09.02.2010 | | Autor: | itstudentin |
Nach weiteren Überlegungen bin ich auf die Idee gekommen, dass die Seitenlänge |x-x| >= 1/3 sein muss. Hilft es mir weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Auf dem Intervall [0,1] werden unabhängig voneinander
> zufällig zwei Punkte x,y ausgewählt. Anschließend wird
> ein Quadrat mit der Kantenlänge |x-y| gebildet. Geben Sie
> in einem Modell die Wahrscheinlichkeit für das folgende
> Ereignis an:
> "Das Quadrat besitzt eine Fläche, die größer oder
> gleich 1/9 ist."
> Ich möchte so vorgehen:
>
> Zuerst wähle ich eine neue ZV Z= X * Y
> Dann laut Aufgabestelleung muss P(Z>=1/9) berechnen.
>
> Stimmt? Dann weiter:
>
> X und Y sind nach meiner Meinung gleichverteilt. Daher ist
> Z auch gleichverteilt. Stimmt?
>
>
> Ist Fläche >=1/9 nur dann, wenn die Kantenlänge
> mindestens 1/9 ist?
Autsch. Da [mm] (1/3)^2=1/9 [/mm] gilt, sollte die Kantenlänge mindestens 1/3 betragen.
Du musst dir hier eine Wahrscheinlichkeitsfunktion basteln und mit der Dichtefunktion vergleichen..
Die Zahl x kann jeden Wert zwischen 0 und 1 gleichverteilt annehmen.
Stelle zunächst in Abhängigkeit von x die Wahrscheinlichkeit grafisch dar, dass y an einer Stelle landet, die mindestens (1/3) von x entfernt ist.
Für x=0 beträgt diese Wahrscheinlichkeit 2/3, wenn x langsam wächst (bis x=1/3), sinkt die Wahrscheinlichkeit für y, von x mindestens 1/3 entfernt zu sein, linear auf 1/3. Wird x noch größer, bleibt die Wahrscheinlichkeit bis x=2/3 konstant (was x rechts von sich als erlaubten Platz für y einschränt, gibt es in gleichem Maß am linken Rand wieder frei). Von x=2/3 bis 1 steigt die Wahrscheinlichkeit für y, einen günstigen Bereich zu treffen, wieder linear bs auf 2/3 an.
Vergleiche nun die Fläche unter dem Wahrscheinlichkeitsgraphen mit der Dichtefunktion von y (die ist im Intervall (0;1) konstant 1.
Gruß Abakus
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Uh, danke schön. Alleine würde ich nicht auf diese Idee kommen..
Ich habe den Graph gezeichnet. Ist richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich glaube, dass die Dichtefunktion habe ich falsch gezeichnet.. Warum ist die Dichtefunktion von Y muss gleich 1 und konstant sein?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Uh, danke schön. Alleine würde ich nicht auf diese Idee
> kommen..
>
> Ich habe den Graph gezeichnet. Ist richtig?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich glaube, dass die Dichtefunktion habe ich falsch
> gezeichnet.. Warum ist die Dichtefunktion von Y muss gleich
> 1 und konstant sein?
Hallo,
y ist ja offensichtlich auf das gesamte Intervall gleichverteilt --> konstante Dichtefunktion.
Die zweite Eigenschaft einer Dichtefunktion ist, dass der Flächenihalt darunter 1 ergeben muss.
Da wir das Intervall von 0 bis 1 haben, muss auch der Wert überall 1 sein, um auf diese Fläche zu kommen. (Würde y gleichmäßig auf das Intervall (0;5) verteilt, müsste die Dichtefunktion dort konstant 0,2 sein).
Gruß Abakus
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Danke, für die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt die Fläche grau markiert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Fläche entspricht der W-keit, dass das Quadrat eine Fläche >=1/9 besitzt. Stimmt es?
Ich habe ausgerechnet:
Graue Fläche [mm] 1*\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{6}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}
[/mm]
Somit ist die erforderte W-keit = [mm] \bruch{5}{9} [/mm] und Aufgabe ist gelöst. Richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke, für die schnelle Antwort.
> Ich habe jetzt die Fläche grau markiert.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Diese Fläche entspricht der W-keit, dass das Quadrat eine
> Fläche >=1/9 besitzt. Stimmt es?
Nein,
das ist das Gegenereignis. Du brachst die Fläche UNTER der Linie (also 4/9).
Ich habe mal für 900 Versuche eine Excel-Simulation gemacht, siehe Anhang.
Mit F9 kannst du neue Zufallszahlen erzeugen.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Das Ergebnis schwankt jedes mal mehr oder weniger um 400/900.
Gruß Abakus
>
> Ich habe ausgerechnet:
> Graue Fläche [mm]1*\bruch{2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> = [mm]\bruch{6}{9}[/mm] - [mm]\bruch{1}{9}[/mm] = [mm]\bruch{5}{9}[/mm]
>
> Somit ist die erforderte W-keit = [mm]\bruch{5}{9}[/mm] und Aufgabe
> ist gelöst. Richtig?
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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Ah, Vielen Dank!!! Ich habe kapiert 
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